中心对称正交矩阵反问题

龚涛



中心对称正交矩阵反问题

龚涛

(湖南文理学院芙蓉学院, 湖南常德, 415000)

通过研究中心对称正交矩阵的结构和性质, 并利用奇异值分解和谱分解, 得到了反问题有解的充分必要条件, 并给出了反问题解的表达式。

中心对称正交矩阵; 反问题; 奇异值分解; 谱分解

矩阵反问题在结构设计、参数识别、最优控制等理论方面都有广泛的应用。关于矩阵反问题的研究已有一些很好的成果[1]。张磊、谢冬秀、孟纯军等分别研究了矩阵反问题在正交矩阵集合中的解[2-3]及在对称正交集合中的解[4]。有关矩阵方程的其它方面结论可以参考文献[5-12]。本文就中心对称正交矩阵集合中的矩阵反问题进行探讨。

1 问题1

2 问题1有解的充分必要条件

由文献[5]中引理2的结论不难得到引理2～4。

引理5[2]给定, 则存在正交矩阵, 使得的充分必要条件是。

同理, 可以得到

将式(11)～(14)代入式(9)、(10)有

由式(15)、(16)不难得到

即

将式(21)～(24)代入式(15)、(16)中得到式(9)、(10)。由引理5知使得,等价于, 即。从而。

3 问题1解的通式

引理6[2]若有, 且, 则有如下的奇异值分解,

引理7[2]给定, 且,的奇异值分解如式(25), 则有正交解, 且通解形式为。

[1] Zhang F. Matrix Theory [M]. New York: Springer, 1999.

[2] 张磊. 正交矩阵的反问题及其最佳逼近[J]. 湖南数学年刊, 1990(1/2): l22-127.

[3] 张磊, 谢冬秀. 子空间旋转的最小二乘问题[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 1992, 19(1): 115-120.

[4] 孟纯军, 胡锡炎. 对称正交矩阵反问题及最佳逼近[J]. 计算数学, 2006, 28(3): 269-280.

[5] 胡锡炎, 张磊, 谢冬秀. 双对称矩阵逆特征值问题解存在的条件[J]. 计算数学, 1998, 20(4): 409-418.

[6] 盛炎平, 谢冬秀. 双反对称矩阵反问题解存在的条件[J]. 数值计算与计算机应用, 2002, 23(2): 111-120.

[7] Peng Z Y, Hu X Y. The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation=[J]. Linear Algebra Appl, 2003, 375: 147-155.

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[9] 盛炎平, 谢冬秀. 一类对称次反对称矩阵反问题解存在的条件[J]. 计算数学, 2004, 26(1): 73-80.

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[11] 周富照, 胡锡炎. 反对称正交对称矩阵反问题[J]. 数学杂志, 2005, 25(2): 179-184.

[12] Meng C J, Hu X Y, Zhang L. The skew-symmetric orthogonal solutions of the matrix equation=[J]. Linear Algebra and its Applications, 2005, 402: 303-318.

(责任编校:刘晓霞)

The inverse problem of centro-symmetric orthogonal matrices

Gong Tao

(Furong College, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

By studying the properties and structure of Centro-Symmetric Orthogonal Matrix, the necessary and sufficient conditions for the solvability and the general expressions of the inverse problem are obtained by means of spectral decomposition and the singular value decomposition.

centro-symmetric orthogonal matrices; inverse problem; singular value decomposition; spectral decom- position

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.01.001

O 151.21

A

1672–6146(2017)01–0001–04

龚涛, xiaosanshao_208@163.com。

2016-04-18