基于数学概念的数学教学研究

唐小勇++李小春

【摘 要】本文基于数学概念在数学教学中的重要地位，提出在数学教学中，应从思想上重视数学概念、以实际案例引入数学概念、在观念上强化数学概念、以通俗语言来解释数学概念，结合多媒体技术手段进行教学改革，让学生深刻认识数学的本质要求。

【关键词】数学概念 数学教学 数学本质

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）08C-0141-02

受应试教育的影响，在数学教学上，轻概念重解题的现象非常突出，这就造成很多教师对数学概念基本不解释，照本宣科地论述一番。甚至还有教师认为，数学概念就是个语文名词而已，只需要学生记下来就好。但实际上，数学概念是众多数学家千锤百炼的结果，逻辑严密，简洁明了，它包含了众多的数学大师的心血以及数学方法。由于教师有意无意地忽略数学概念的教学，这就导致学生对数学概念一知半解，有些数学题目会做，但是不知道为什么要这么做。即使有些学生能做好数学题目，但是对于数学的学习并没有实质的帮助，对数学的本质学习还是不甚了解的。因此，在数学教学上，应摆脱以解题为目的的数学教学，而应回到追本溯源的探究式教学上来。

一、从思想上重视数学概念

虽然国家提出要加强素质教育，不要以应试教育为中心，但不管是教师、家长还是学生都不这么认为。他们认为能够考取好的成绩就是学习这门课程的重要意义，在这样的氛围下轻概念重解题现象就难以改变。而围绕数学分数的数学教学就会导致功利性的行为发生，不会注重概念解释，也不会注重其中的逻辑关系，不断地解题就是整个课堂的核心，把数学当成了算术。对此，数学教师在教学上要重视数学概念的解釋，这样才会让学生很好地理解数学概念，在理解概念的基础上解题更能学好数学。家长也不应把目光紧紧盯着数学分数，而是要看是否真正学好数学，概念是否理解正确，解题不出是什么原因等。对学生而言，数学不是解题，解题是为了学好数学。甚至，数学的概念理解的重要性要超过数学解题。教师重视数学概念，学生就会透彻理解概念，在理解概念基础上去解题，在解题中悟透概念，这样整个数学的教学就呈现出良性循环的好局面。当然，由于课时的限制，教师应在解释概念与解题中把握一个平衡。比如在讲解导数概念的时候，可以从牛顿、莱布尼茨对导数的引入开始讲解，通过对时间—位移的动态演变过程，由割线变切线的关系来定义导数的概念，这样，在对函数用定义求导的时候，就会让学生明白为什么需要先求出因变量与自变量的增量，然后通过两者的比值求极限而得到导数。

二、在实际案例中引入数学概念

数学概念是多年以来数学家不断简化的结果，基本满足两个条件，一是概念简单，二是逻辑性强。数学概念追求简单是遵循奥卡姆剃刀原理，即“如无必要，勿增实体”的简单有效原理。同时，数学概念为避免造成不同的解释，就必须在逻辑上自洽。然而，在教学中就会发现，数学概念的定义对学生来说苦不堪言，如果教师还不对概念进行详细的解释，概念的抽象性让很多学生认为数学难以理解。因此，可以尝试用实际的案例来引导学生对数学概念的理解。虽然数学是一个独立的世界，但还是有很多的数学问题是来自实际生产、工程、运输等。这样，数学教师在教学时就可以把书本上那些晦涩难懂的数学概念进行适当的替换，用实际的具体案例来解释数学概念。人对具体事务的理解往往都超过那些抽象事物的理解，这是因为具体事务在现实中存在，看得见或者摸得着，而抽象事物需要从逻辑上进行理解，并不一定在现实中能够发现。所以，对数学概念的具体化就是让学生把抽象的问题转移到具体的事物上来，加强概念的现实感，从而让学生能够很好地理解数学概念。比如讲解二元分布函数概念的时候，可以举例种子的发芽率，如果只考虑水温与气温的变化，那么任何一个温度的变化都会影响种子的发芽率。这种直接取材于现实案例的讲解比只讲解抽象分布函数概念的效果会好很多。

三、从观念上强化数学概念

人是观念的产物，但是人的观念并非一成不变的。研究表明，即使是孩童时代，没有学习过数学的儿童，他们的大脑也并非一片空白。因为在现实的游乐玩耍中，儿童就有了自己的数学概念。但是，这种学龄前的数学概念与书本上的数学概念有不一致之处，甚至有些还是错误的数学概念，这对数学的学习有着严重的阻碍，因为自我理解的概念比外部学习的概念更顽固，也更难纠正。数学的学习是有层次性的，前一阶段的学习会影响后一阶段的学习。就比如，数学的运算贯彻整个数学的学习，小学的整数运算、中学的分数运算以及大学的导数、极限等运算等等。然而这些运算有些是相同的，有些是不同的。但如果不加以细分与理解，就会把不同的运算混为一谈，在教学中甚至出现1/2+1/3=2/5之类令人啼笑皆非的情形。之所以出现这样的情况，就是没有理解好新的概念，观念上还停留在旧有运算概念上。建构主义认为，知识是一个主动构建的过程。要让学生从错误的概念中纠正过来，就必须进行概念转变教学。所谓的概念教学就是促使学生原有概念得到纠正的教学方式。学生的概念形成主要是来自日常的具体事务，也来自原有的书本概念。每次进行新概念讲解的时候，教师就应厘清新旧概念的区别与联系，在旧有概念的基础上，重组新概念。所以，针对新旧概念混合冲突的情况，教师不应从解题上入手，而应从概念上入手，把各个概念的不同与规则讲解透彻，才不会出现概念理解的差异现象。比如导数的运算法则，重点讲解导数运算与数字四则运算的异同点，两者在加减法是相同的，但是在乘除法是不同的，不同点应该加以区别，避免学生把数字的乘除运算用到导数的乘除运算上来。

四、以通俗语言来解释数学概念

数学概念的抽象性让学生望而生畏，枯燥无味的数学理论让学生学习起来兴致索然。因此，在教学中，如何解释数学概念很考验教师的语言艺术水平。当然，再厉害的数学大师也不可能把数学课讲得像文学艺术课程那样精彩，但数学教师可以在降低逻辑要求的基础上，把数学概念进行通俗化。数学概念逻辑严谨，晦涩难懂。严谨是数学的第一要求，但是在课程教学上，数学教师可以放宽这个要求，用通俗易懂的语言让学生很好地理解数学概念。而且，通俗并不是说没有逻辑性，只是说用现实中的日常语言来描述数学概念而已。比如对于函数的概念，数学教学上有一大段逻辑性很强的语言来说明，但在概念理解上用一句话就可以说明：变量之间的一一对应关系就是函数，现实中的很多例子都是一一对应的函数关系如门当户对、男才女貌等。甚至可以在班级上就地取材以两个男女学生为例，各自举例双方的特征，如果每个特征相一一对应，那么这两个同学的关系就满足函数定义的条件。通俗语言的讲解很具体，很形象，也很活跃气氛，虽然这样的解释不够严谨，但是比较有趣，而且让学生能够与现实的具体事务相对应，这对概念的理解非常有帮助。

五、以多媒体技术手段形象化数学概念

人对事物的认识过程都是由感性认识到理性认识，感性认识是通过闻、摸、触、看、听等直接接触事物来认识事物，感性认识是认识事物的初级阶段与初级形式；理性认识是把握事物内在规律与内在联系，是认识过程的高级认识与高级形式，也是感性认识的升华。而数学学科中的众多抽象化概念，使得很多学生在学习数学概念时都是一脸茫然，没有具体化的事物做参考，学生就难以理解抽象化的数学概念，而多媒体等技术可以帮助学生理解抽象化的数学概念。随着国家教育投入的加大，大多数院校的硬件设施都很完善，基本上，除偏远地区外，各个学校都配有多媒体教学设备。与传统教学相比较，多媒体教学在视觉效果上明显突出。在解释数学概念上，多媒体有视觉效应的优势，比如一些难以解释的概念可以先用ppt的动画效果来展示，在学生的脑海中留下一个具体的事物形成过程，比如，极限的化圆为方、二重积分的以直代曲。动画效果不但能展现出极限、二重积分等抽象概念是怎么形成的，还突出了数学思维模式的改变。对学生而言，通过影视效果来加深概念的映像，把这些概念具体形象化了。此外，在多媒体上，很多新概念与旧概念可以用图画、表格的形式进行对比，让学生辨清两者之間的分歧，从而巩固对新概念的理解。比如，函数概念从初中开始一直到大学都在讲解，但是初中、高中、大学的函数概念的定义并不一样，这是因为数学思维的发展呈现年龄特征，每个年龄阶段的理解能力不能一概而论，初中学生还停留在具体化阶段，讲解函数是直接通过简单的函数图像进行解释的；高中是具体概念到抽象概念的过渡阶段，函数就通过集合的形式过渡到抽象的概念；而大学是以抽象思维为主的学习阶段，就直接给出函数的抽象化定义。所以，教师可以把三个阶段函数不同的定义展现出来，既复习了原来的知识，还强化了对概念的理解。

总之，数学概念的理解对于数学的学习至关重要。从思想上要重视数学概念的教学，在观念上要强化数学概念的理解，纠正原有的错误概念，结合多媒体技术手段，用通俗的语言来解释数学的概念，让学生通过对数学概念的深刻理解来达到认识数学思想本质的目的。

【参考文献】

[1]李小平.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2013

[2]周铁军，张朝阳.高等数学[M].北京：中国农业出版社，2014

【作者简介】唐小勇（1973— ），男，湖南洞口人，湖南农业大学信息科学技术学院副教授，博士，研究方向：大数据技术、高等教育理论；李小春（1979— ），男，湖南新邵人，湖南农业大学经济学院博士研究生，副教授，研究方向：农业经济理论、数学教育理论。

（责编 苏 洋）