基于高阶累积量的改进Prony低频振荡辨识方法

朱先贤，赵 帅，贾宏杰

（天津大学智能电网教育部重点实验室，天津 300072）

基于高阶累积量的改进Prony低频振荡辨识方法

朱先贤，赵 帅，贾宏杰

（天津大学智能电网教育部重点实验室，天津 300072）

广域测量系统的不断发展和进步，为基于Prony方法实现电力系统低频振荡的在线辨识提供了可能性。针对传统Prony算法在辨识广域测量系统监测信号过程中抗噪声性能不足的问题，本文提出一种基于高阶累积量的改进Prony算法用于低频振荡的在线辨识。该方法利用高阶累积量技术具备的良好抗噪特性，能够有效抑制广域测量系统在采集和传输过程中产生的白色噪声和有色噪声。最后，利用典型正弦信号、新英格兰10机39节点算例系统的仿真结果和实际电网测量数据验证了所提方法的正确性和有效性。

高阶累积量；高阶统计量；低频振荡；Prony算法；广域测量系统

Abstract:With the continuous development and improvement of wide area measurement system（WAMS），it is possi⁃ble to realize online detection of low frequency oscillation in power system using Prony algorithm.To overcome the poor anti-noise performance of the traditional Prony algorithm when it is used in the detection of WAMS monitoring signals，an improved Prony algorithm based on higher-order cumulant（HOC）is proposed in this paper.It is more effective in re⁃straining the white and colored noises generated in the acquisition and transmission process of WAMS，since HOC has better anti-noise performance.Finally，simulations on typical sinusoidal signals，New England 10-generator 39-node system and the data from an actual power grid verify the correctness and effectiveness of the proposed method.

Key words:higher-order cumulant（HOC）；higher-order statistic；low frequency oscillation；Prony algorithm；wide area measurement system（WAMS）

随着发电量的不断增长和高压输电系统的不断扩展，我国电力系统已发展成为一个典型的大规模区域互联系统。其中，因发电机快速励磁系统或各区域间弱连接而造成的电力系统低频振荡成为影响系统安全稳定运行的一个重要因素。低频振荡通常包括局部模态和区间模态，局部模态涉及单个发电厂内发电机组和电力系统中其他发电机组之间的摇摆，振荡频率约为1～2 Hz；区间模态是指系统中两个区域间发电机群的相对摇摆，其振荡频率约为0.1～0.7 Hz[1]。国内外研究人员对电力系统低频振荡问题进行了较多研究，主要集中在两个方面：①从机理角度对低频振荡的产生原因和抑制手段展开研究，提出了如负阻尼机制、强迫振荡机制、参数谐振机制、非线性理论机制等[2-3]；②对分析方法展开研究，常见的分析方法包括小干扰分析和信号分析两类方法。小干扰分析方法可分为数值仿真方法、线性模型分析方法、非线性理论分析方法等[4]，这类方法适用于离线分析，然而在面对实际系统时会遇到“维数灾”的问题。信号分析方法包括傅里叶算法、小波分析算法、Prony算法和希尔伯特-黄变换算法等[5]，这类算法能够直接从运行数据中提取系统的低频振荡信息，因而具备在线应用潜力。其中，Prony算法能够快速辨识出信号的幅值、频率、衰减因子和相位等信息，在低频振荡在线辨识等领域中得到了较广泛应用[6-12]。但传统的Prony算法对噪声较为敏感，因此提高Prony算法的抗噪性成为一个重要的研究方向[13-16]，如文献[14-16]将神经网络、小波变换及自适应模糊滤波等方法与Prony算法相结合，可以消弱算法对噪声的敏感程度。此外，针对Prony算法只能采用局部信号分析且对噪声敏感的特点，文献[17]提出了一种固定窗口滑动的改进方法，提高了算法对噪声的适应能力。

高阶累积量HOC（higher-order cumulant）作为高阶统计量中常用的工具之一，其在理论上可完全抑制信号中的高斯有色噪声，从而较传统功率谱或相关函数方法具有更好的抗噪性能力[18-19]。在电力系统领域，HOC已成功应用于暂态电能质量扰动信号识别、间谐波估计、风电场风速建模与仿真等领域[20-23]。

为了更好地提高Prony算法的抗噪性能，本文提出一种基于HOC的改进Prony算法HOC-Prony（Prony algorithm based on HOC），目的是实现电力系统低频振荡的在线辨识。该方法通过HOC对系统实时信号进行预处理，然后基于Prony算法提取系统低频振荡特征量，从而实现低频振荡在线分析。与传统Prony算法相比，该方法具备了HOC方法在抑制高斯噪声方面的优势，因而能够改善算法的抗噪性。最后，利用典型正弦信号、新英格兰10机39节点算例系统的仿真数据及实际电网的量测数据验证了所提方法的正确性和有效性。

1 Prony方法及其抗噪性能分析

1.1 Prony方法简介

由广域测量系统WAMS（wide area measure⁃ment system）采集的电力系统低频振荡信号可以由考虑高斯噪声的数学模型表示为

式中：y（n）为WAMS观测信号；x（n）为确定性信号；v（n）为高斯白色/有色噪声。

若不考虑系统噪声v（n），Prony算法将信号x（n）近似描述为p个指数函数的线性组合[14]，即

对应的Prony算法求解步骤如下。

步骤1 构造样本函数的扩展矩阵Re为

式中：p为扩展矩阵的有效秩；pe为估计秩；样本函数

步骤2 采用奇异值分解-最小二乘算法SVDTLS（singularvaluedecomposition-totalleastsquares）[13]确定有效秩p及在有效秩下的扩展矩阵R，建立Prony方法的法方程为

式中：εp为最小误差能量；μi为法方程系数，通过最小二乘估计方法求取。

步骤3 求取

所示特征多项式的根zi。

步骤4 由式（2）建立未知参数为bi的线性方程并求解，即

步骤5 求解相关特征量的值，其公式分别为

如果将WAMS量测获得的实时数据用式（1）加以描述，则通过求解振荡频率fi和衰减因子αi，可以获得电力系统低频振荡模式的角频率ωi和阻尼比ξi，其中ωi=2πfi，阻尼比计算公式为

1.2 Prony算法抗噪性能分析

利用Prony算法进行实际电力系统低频振荡的在线分析时，易受到采样和传输过程中产生的各种噪声干扰。如果采样信号中含有噪声，则样本矩阵中的零空间将被噪声空间所代替[20]，从而影响利用SVD-TLS计算扩展矩阵的有效阶数，进而降低分析方法的计算精度。这里对正弦衰减信号进行Prony算法分析，其信号为

图1为利用Prony算法恢复的原始信号与含噪声信号的比较结果。从图1中可以看出，经Prony算法恢复的信号与原始信号拟合度较好，但在原始信号的基础上添加信噪比为30 dB的高斯噪声后，Prony算法恢复的信号曲线出现明显偏差。经Pro⁃ny算法计算获得的振荡频率分别为0.369 5Hz和0.176 1Hz，衰减因子分别为－0.620 7和－1.191 6，显然此时该算法无法满足计算精度的需求。传统Prony算法的抗噪性较弱，使得在实际应用中，很少直接采用其进行低频振荡分析。

2 基于HOC的改进Prony算法

2.1 HOC及其性质

HOC作为常用的高阶统计量之一，具备对任意高斯随机过程不敏感的特性，即能够有效滤除信号中的白色或有色噪声。若定义k个连续随机变量x1，x2，…，xk的概率密度函数为f（x1，x2，…，xk），则对应的第1联合特征函数可定义为

式中，f（x）为概率密度函数。

第2联合特征函数定义为Φ(ω1,…,ωk)的自然对数为

由此，随机变量x1，x2…，xk的r阶联合累积量可以定义为

在实际应用中，令r1=∙∙∙=rk=1，则k个随机变量的k阶累积量为

如果定义t时刻的平稳连续随机信号为x（t），那么由式（15）可知，x（t）的高阶累积量用符号可以表示为

式中，τ为采样时间间隔。

由HOC相关理论[18-19]可知，HOC具有如下重要性质。对于1个被观测的信号x（n）且存在高斯有色噪声v（n）时，其观测过程y（n）的高阶累积量满足

当k＞2时，观测过程y（n）与x（n）具备相同的HOC，因此利用HOC可以自动抑制高斯背景噪声的影响。因此，利用HOC便可以有效降低WAMS中产生噪声对低频振荡分析结果的影响。

2.2 4阶累积量对角切片在低频振荡分析中的应用

在基于HOC的有色噪声谐波恢复理论中，利用4阶累积量的对角切片能够有效抑制系统中噪声并计算信号频率、衰减因子等信息[24-25]。具体来讲，由式（17）可以得到信号x（n）的4阶累积量，即

由此定义4阶累积量的对角切片c4x(τ)为

对式（1）所示的确定性信号x（n），c4x(τ)可表示[18]为

当信号含有高斯噪声时，WAMS的观测数据y（n）的4阶累积量与x（n）的4阶累积量相等。因此，两者的对角切片同样相等，即满足

上述推导表明4阶累积量的对角切片能够保留原始WAMS采集信号的谐波个数、频率等所需的有用信息。实际应用时，通过计算WAMS采集信号y（n）的对角切片可有效减少信号中所含有的噪声，进而利用Prony算法计算对应的频率、阻尼比等信息。因此，HOC能够与低频振荡Prony算法有着很好的契合，可以提高Prony算法的抗噪性能。

2.3 低频振荡在线分析流程

考虑到WAMS采样和传输电力系统实时数据的特点，本文提出的基于HOC-Prony算法的电力系统低频振荡在线辨识流程，如图2所示。其中，为了避免频谱混叠，采样时间长度一般应包括最低频率的2个周期，通常取l0～20 s[11]。

图2 基于改进HOC-Prony算法的低频振荡分析流程Fig.2 Process of low frequency oscillation analysis based on HOC-Prony algorithm

辨识流程的主要步骤如下所述：

（1）对由WAMS采集的信号，进行去直流预处理；

（2）通过计算相应信号的HOC的对角切片，获得处理后的信号；

（3）利用第1.1节中Prony算法计算系统的振荡频率和阻尼比等信息，并利用最小二乘曲线拟合技术计算信号的幅值。

3 算例分析

为验证所提方法的正确性和有效性，本文采用正弦衰减信号、新英格兰10机39节点算例系统仿真数据及实际电网WAMS数据分别对本文所提方法进行验证。

3.1 给定正弦信号的Prony算法分析

针对第2.2节中式（12）所示的确定性信号y中分别加入不同信噪比的高斯白噪声和有色噪声，分别利用Prony算法和HOC-Prony算法计算对应信号的频率、衰减因子，分析结果如表1所示。其中，本文采用百分比误差PE（percentage error）作为衡量低频振荡在线辨识的效果指标[11]，其公式为

表1 基于Prony算法和HOC-Prony算法的正弦信号分析对比Tab.1 Comparison of the analysis of sinusoidal signal between Prony and HOC-Prony algorithms

从表1中可以看出，直接利用Prony算法分析含有噪声的正弦信号时，其计算结果与原信号的百分比误差较大。特别地，当信噪比为35 dB时，百分比误差已经超过10%。显然，传统Prony算法已经无法满足工程精度的要求，而采用本文所提的HOC-Prony算法，百分比误差被控制在1%以内。由此可以看出，采用本文所提方法能够有效改善Pro⁃ny算法的抗噪性能。

3.2 新英格兰10机39节点算例系统

为验证所提方法的有效性，采用新英格兰10机39节点系统进行仿真分析，其接线如图3所示。其中，仿真采用美国邦那维尔电力局BPA（Bonnev⁃ille power administration）程序，仿真步长为0.01 s，建立不同故障类型、Prony算法分析窗口长度和窗口位置等的场景进行分析，具体场景如下所述。

场景1：系统0 s时线路28-29首端发生三相短路故障，0.1 s故障解除，0.2 s切除38号节点处发电机功率150 MW，取1.2～12.0 s间数据进行计算。

场景2：系统0 s时线路28-29首端发生三相短路故障，0.1 s故障消失，0.2 s切除38号节点处发电机功率50 MW，取1.2～12.0 s间数据进行计算。

场景3：故障场景与场景2保持一致，1.0 s后开始进行分析，观测窗口为10.0 s。

场景4：故障场景与场景2保持一致，1.0 s后开始进行分析，观测窗口为15.0 s。

场景5：故障场景与场景2保持一致，观测窗口为1.0 s到11.0 s之间的信号。

场景6：故障场景与场景2保持一致，观测窗口为2.0 s到12.0 s之间的信号。

图3 新英格兰10机39节点系统Fig.3 New England 10-generator 39-node system

图4 基于Prony和HOC-Prony算法对噪声信号分析比较Fig.4 Comparison of the analysis of the signal with noise using Prony and HOC-Prony algorithms

图4所示分别为场景1和场景2条件下，利用Prony算法和HOC-Prony算法对含噪声信号进行分析后，拟合获得的30号母线所连发电机相对于惯性中心的功角曲线。其中，含噪声信号通过对原始仿真曲线添加30 dB的高斯白噪声获得。从图4中可以看出，加入高斯白噪声后，经Prony算法分析后所得的拟合曲线与原信号相比出现明显的误差，而采用HOC-Prony算法恢复得到的仿真曲线，其误差明显减小。

表2为不同场景下使用Prony和HOC-Prony算法的分析结果，其中分析信号均已经添加白噪声。基于BPA的小干扰稳定性分析程序计算出系统的主导频率为1.03 Hz，阻尼比为0.009。从表2中数据可以看出，各个场景基于Prony算法分析获得的频率结果误差不大，但阻尼比的误差较大，这表明信号含有的噪声已经影响到Prony算法的性能。而使用HOC-Prony算法计算获得的分析结果，其误差相对较小。因此，HOC能够很好地抑制噪声，有效弥补了Prony算法本身抗噪能力较差的缺陷。

表2 不同场景条件下Prony和HOC-Prony算法分析结果Tab.2 Analysis results using Prony and HOC-Prony algorithms in different scenes

3.3 实际电网

为进一步验证所提方法在实际电网中的有效性和实用性，本文以南方某电网实际WAMS采集的实时数据进行分析。其中，实际电网某日因500 kV变电站在复电过程中发生AB相间短路故障，进一步导致主变跳闸及直流闭锁，该故障导致南方某电网发生低频振荡。由于WAMS采集的信号本身已经含有有色噪声，因此本文并未对实时数据人工添加任何噪声。

WAMS记录下故障前、故障中、故障后累积120 s实时数据，其中砚崇甲线（YC-J）、罗百I线（LB-I）、天金线（TJ）、梧罗I线（WL-I）功率的实时检测获得的线路有功功率数据如图5所示。从图5中可以看出，故障前功率信号较平稳，但实时数据受到了噪声的影响，故障发生后线路功率发生较大波动，振荡后趋于平稳。

图5 YC-J、LB-I、TJ、WL-I的有功实时监测Fig.5 Real-time monitoring of active power on linesYC-J，LB-I，TJ and WL-I

图6为实时监测信号的局部放大图，其中图6（a）～（d）依次对应YC-J、LB-I、TJ和WL-I的实时监测信号。从图6中可以看出，各条线路的有功功率信号不同程度地受到了WAMS在采集和传输过程中的噪声污染。

图6 实时监测信号局部放大曲线Fig.6 Partially enlarged real-time monitoring signals

对上述线路的有功功率曲线分别使用Prony算法和HOC-Prony算法进行谐波恢复，如图7所示。其中，实线为4条线路的实测数据，虚线和点线分别为经Prony和HOC-Prony算法恢复的数据曲线。从图7中可以明显地看出，传统Prony算法获得的恢复信号与原始信号曲线差异显著。而采用HOCProny算法则能够更有效地恢复实际WAMS的含噪声信号。

图7 利用Prony和HOC-Prony算法恢复实际电网信号结果比较Fig.7 Comparison of restored signals of actual grid using Prony and HOC-Prony algorithms

表3为两种算法计算获得实际系统的主导振荡频率和阻尼比。根据实际系统故障仿真分析报告可知，因上述故障导致系统的主导振荡频率在0.38 Hz左右，阻尼比在0.10左右。从表3可以看出，采用Prony算法直接进行分析，不能有效计算出主导频率及其对应的阻尼比。而采用本文所提HOC-Prony算法进行分析，主导频率和阻尼比的计算误差相对较小，可以准确地计算出系统的振荡频率和阻尼比。因此，本文所提HOC-Prony算法在对实际WAMS采集的实时数据进行分析时，能够有效减少因系统噪声而带来的分析误差。

表3 实际电网Prony和HOC-Prony算法分析结果Tab.3 Analysis results of an actual power grid using Prony and HOC-Prony algorithms

4 结语

针对传统Prony算法抗噪性能不足的问题，本文提出一种将HOC和Prony算法相结合的HOCProny算法，并利用该方法实现电力系统低频振荡的在线辨识。HOC-Prony算法利用高阶累积量技术对WAMS中的信号进行预处理，从而有效改善了传统Prony算法辨识方法的抗噪性能。利用典型正弦信号、新英格兰10机39节点算例系统的仿真结果，以及实际电网的故障量测数据验证了所提方法的正确性和有效性。

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Improved Prony Method Based on Higher-order Cumulant for Low Frequency Oscillation Detection

ZHU Xianxian，ZHAO Shuai，JIA Hongjie
（Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

TM76

A

1003-8930（2017）09-0001-08

10.3969/j.issn.1003-8930.2017.09.001

2015-06-11；

2017-04-06

国家自然科学基金资助项目（51277128）；国家电网公司重大科技专项资助项目（SGCC-MPLG028-2012）

朱先贤（1989—），女，硕士研究生，研究方向为电力系统低频振荡及相关算法。Email：zhuxianxian94@163.com

赵 帅（1986—），男，博士研究生，研究方向为电力系统数字仿真、建模及稳定控制。Email：zm_darst19860702@126.com

贾宏杰（1973—），男，博士，教授，研究方向为电力系统安全与稳定性、配电系统优化规划。Email：hjjia@tju.edu.cn