“变式”在解题中体现的“简捷”

王晓秋

摘要：用实例将“变式”解题用在数学问题中，充分体现它的简捷性与容易性。变式在概念教学中的可逆性、简洁性、由特殊到一般、数形结合的相互转化思想。

关键词：变式；简捷；教学；数形结合；特殊到一般

G633.6

对于具体的数学问题，在解题过程中感到非常困难或者无法可解时，不妨把给出的条件或结论作某些变化，达到解决数学问题的目的。“变式”就是从特殊变到一般，从较复杂变为简单，从抽象变到具体，从整体变化回到局部或保持特征的最简单方式。先从简单入手，再处理较为特殊的问题，并归纳，联想“数”“形”结合，解决一般性问题。在数学教学中“变”是绝对的，“不变”是相对的，万事万物在变化中进步，在变化中成长。数学问题中的“变”是奇妙无穷的，处处体现“变”之容易，“变”之简捷。现以实例说“变式”在解题中的“简捷”。

一、注重概念、定理、公式的教学。

首先，数学概念、法则、性质、定理常常具有可逆性，例如七年级数学上册由“正数”逆变提出“负数”的概念；有理数的减法法则可由加法法则转变；去括号法则逆变出添括号法则；在幂的运算性质中，有（ab）n=anbn （a、b为实数，n为正整数）。下面计算（ ）2003·（ ）2004。对于有些学生来说就比较困难，困难在于对公式的变化没有深刻的理解。公式（ab）n=anbn可以逆过来写成anbn=（ab）n，而an=an-1·a，根据实际需要作恰当的变化，先将（ ）2004 =（ ）2003·（ ）变形，再计算：

（ ）2003（ ）2004=（ ）2003·（ ）2003·（ ）=[（ ）（ ）]2003·（ ）=[（ ）2-（ ）2]2003·（ ）=12003（ ）= 。

其次，在概念中教学中，“变式”也能体现它的“容易”，例如：二次根式的教学中，形如 （a≥0）叫二次根式，必须强调二次根式具有双重非负性。例如已知 =1，求x的取值范围。很多学生无从下手，感到困难，我把它变成 =x-1，学生们很快明白是考查了公式： = = 。因此 =x-1只能有x-1>0，再问为什么x-1不能等于零，指出x-1在分母中，同学们立刻就把问题解决了。又如在实数范围内分解因式2x2-3，在有理数中无法分解，现在学习了实数和二次根式 通过变式，此问题就简单容易， ，由此可见“变式”教学在概念的掌握和运用中是多么重要。例如：已知 ，求a-2b的值。分析：要求a-2b的值，表面看条件与结论无联系，但想一想公式 则可得 ， ，

∴a-2b=2。又例如：已知方程组 ，且0

二、从简单到复杂，從特殊到一般的数学思想在教学中经常用到，是我们在解决数学问题中的思维方法，也是一种变式。任何事务的发展都是由低级到高级的转化，在数学教学中，我们利用人的思维发展规律，达到事半功倍的效果。例如：n为正整数，求 的值。开始，我没有直接要求学生计算，而是要求把 变成两个分式的差，很快学生得出 ，再要求分子必须是1，则 再把 变成以上形式。 ，在学生热烈的探讨中，要求的式子的值可以变式计算为：

再推广到

又例如，已知： 都是正实数。

求证： 。

分析：我们学习了 ，a为正数， ， （ 为正数），如果 都为正数。则 ，然后把以上不等式相加，即可得结果。

证明： 为正实数， ， ， …… ，相加得：

在几何问题中，我们同样用到从特殊到一般的变式思维，例如，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，①若 =3，求 的值。②若 =m，求 的值。

（1）

学生对此类题不知从何下手，求线段的比值必须转化到三角形相似中来，构造相似 三角形，并寻找到中间桥梁，把已知 =3连接到所求 中。分析：如图①，过E作EH//AB交BG于点H，则ΔEHF∽ΔABF，

，第②问中已知 ，可以由①得出结果

又例如：如图：OC为 AOB的角平分线，P为上一定点，过P作任一直线交OA、OB于点E、F，试证： 恒为定值。分析：先考虑EF变化到特殊位置， 的情形，不妨设为如图（1），此时Δ 为一个等腰三角形， ， ，由已知P是 的中点，取 的中点D，

则知 为定值，然后在证明任一直线EF交OA、OB就简单多了，过P作PD//OE，交OF于D， ，同理 ，两式相加即得

结论： 。

三、在数学教学中，我常常根据教学内容，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，而“变式”的思维模式是在整体的数学能力中体现出来的，它需要从已知信息中挖掘出大量变化的，独特的新信息的思维方式，它具有多向性、变通性、流畅性、独特性的特点。因此数学教学的目的就是培养学生的分析问题，解决问题发展数学的能力，以及发展学生的智力，提高思维、观察、注意、记忆、联想等能力。为了使“变式”的思维模式能顺利开展，教师必须提高自身素质，在教学过程中及时引导学生，利用教材中的公式、定理、定义、公里等纵横对比，概括，归纳，形成一定的模式，尽量要求学生对同一问题从多途径，多方向思考。例如：对同一个“数”跳出“抽象的数”的这个圈子，联想到数轴、方程的根和三角形的边长，当我们赋予它某种含义后，自然而然就找到几何的背景，从而增进了对问题的理解，然后就从“数”变到“形”的思维。同样的一个几何问题，跳出“几何”这个圈子，联想到面积、方程、函数等等，同样增加了解决问题的方法。例如：在数轴上表示这个数，必须跳出 是一个无理数这个圈子，到几何中去寻找，在RtΔABC中 C=90°，AC=2个单位长，BC=1个单位长，则AB= ，如图，原点与A重合，以A为圆心，以AB为半径画弧，交数轴于点E，则点E对应的数为 。

又例如：已知a>0，b>0，c>0，求证： + > 。分析：此题是代数的不等式证明。因为a>0，b>0，c>0， >0， >0， >0。我们如果跳出代数证明这个圈，变化到几何证明。用两边之和大于第三边，问题就简单了。构造直角三角形，如图：作RtΔABC，∠ACB=∠BCD=90°，AC=a，BC=c，CD=b，CE=a根据勾股定理： ， ， 而在ΔABD中，AB+BD>AD，AD=a+b，而a+b> ，所以 + > 。

从某种意义上说，学习数学就是为了解决数学问题，而解题是数学问题的核心，而从事数学教学就是质疑、释疑、解疑的过程，即提出问题、分析问题、解决问题的过程。而“变式”就是在解决问题过程中起到“简捷”，“灵活”而又可操作的杠杆作用。