运用化归思想中的“整体代换”解题

2017-09-27翟德宏

课程教育研究·新教师教学 2015年2期

翟德宏

【摘要】化归是中学数学中最基本的思想方法，是数学思想的精髓。数学研究的过程自始至终贯穿着“化生为熟，化繁为简”的过程，从而使问题得以圆满解决。本文介绍了化归思想，并着重例举如何运用化归思想中的“整体代换”思想，将题目化难为易，最终解决问题。

【关键词】化归；整体代换；解题方法

【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）2-0266-02

1.化归思想综述

1.1化归思想的概念

“化归”是转化和归结的简称，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个问题，而问题是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题的解决可得原问题的解答。

具体简单地说，就是将一些复杂的问题简单化，将一般的问题特殊化，将未知的问题变成已知问题，将一个综合性的问题转变成为几个简单的问题等等。化归思想解决问题的核心是，并不是对数学题目进行直接的进攻，而是自己对题目进行变形，将这个题目化归成为比较容易解决的问题。化归思想的实质就是用动态的、发展的、变化的眼光看待事物，将一些问题进行变形，这其实就是在数学中的辩证唯物主义的思想。

从波利亚的学习的认知结构理论来看，数学学习过程其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的，而数学思想方法对同化和顺应进行推进，进而对认知结构的发展起重要作用。实际上，无论是同化和顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容之间，改造一方去适应另一方，这种改造就是我们所讲的转换或化归。由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的转化，这种重要的思维特点，就是化归思想。由此可以看出，化归思想与波利亚关于解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的，但是与之比较，化归思想具有更强的目的性、方向性和概括性。

1.2化归的一般步骤

正如著名的数学家、莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。运用化归思想，通常经过以下步骤，将一个新的、复杂的疑难问题，转化为一个已知的、简单的、易于解决的问题。

第一，明确要化归的对象，即对什么进行化归；第二，明确化归的目的，即将之化归到什么地方去；第三，寻找化归的途径，即将问题怎样进行化归。其关键就是将程序与解决的方法已经确定的问题加以规范化。

1.3化归思想的意义

数学的任一门类都是严谨的逻辑体系，其知识大厦无不建立在为数甚少的几个基本概念与公理之上，这使得数学体系在结构上具有高度的化归性，即具有可“化新为旧”和“化繁为简”的特征，从而化归思想成为数学的基本思想方法之一。

转化与化归思想在中学数学学习中占有十分重要的地位。数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等。各种变换，总是由陌生向熟悉转化。具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。

2.运用“整体代换”解题

“整体代换”思想是化归思想的一个重要组成部分。所谓“整体代换”，就是把某个数学式子用一个新的量代换，以此出发，注意整体结构及结构的改造，再适当作恒等变形，常可迅速地达到求解的目标，使问题的解答简单明了。

这里的运算非常简洁，关键在于恰当地运用了③式的整体换元和④式的整体代换。

从上述例子可以看出，把注意力和着眼点放在问题的整体上，注意对问题的整体结构进行分析和改造，灵活运用“整体代换”的思想，有助于将题目化繁为简、化难为易。因此，教师在平时的教学中，应注意把握教材中的整体因素，不失时机地渗透整体思想，由浅入深地展开整体思维训练，以此可以得到更好的教学效果。

参考文献

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