一类“对勾函数”型函数最值求法

左锦辉

【分类号】G634.6

近年来高考对函数求最值问题一直都是热点，特别有一类“对勾函数”型的

函数的最值越来越明显，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。而函数的最值求法必须注意其定义域，同时其最值求解及研究也离不开均值不等式，所以本文先簡单介绍一下对勾函数图像与性质，再通过举例来说明对勾函数最值求解的方法。对勾函数，是形如 的函数，此函数的图像与其参数 的符号有关，为了讨论方便本文只给出 时图像，其图像如下：

在本文的例题当中只对参数 时进行研究，当 时其 在 上为单调递增，在 递减。

特别地当 时，函数 性质如下：

当 ；

；

在 上为单调递增，在 递减。

二、例题讲解

例1 （1） 数 最大值；（2） 的最值。

解（1） 由 ，令 由对勾函数的性质可知：

，于是有

所以函数 的最大值为 。

（2）由 可令 ，由对勾函数可得：

当 时，

当 时，

所以当 时， 取等号，即 取极大值 ；

当 时， 取等号，即 取极小值 。

从上例可知求解函数最值时要注意函数定义域，函数的最值也即函数值域，因此注意函数定义域是必须的。

练习1已知 求下列函数最值：

（1） ；（2） ；（3） 。

答案：（1） 最小值为 ，无最大值；（2） 最小值为 ，无最大值；（3） 最小值为 ，无最大值。

练习2求函数的 的最小值. （答案： 最小值为 ）。

三、小结

本文主要介绍了一下对勾函数型函数最值求解方法，对于对勾函数型函数是指可以通过转化化成对勾函数，所以在求解时首先是先把函数转化成对函数，再利用对勾函数的图像用及性质求解，当然在求解过程中，有些问题可以利用均值不等式来解，但利用均值不等式求解时要注意取等号时是否能成立，若不能成立，文中采用了函数的单调性来求解，如文中的例题3就说明了这一些问题的处理方法。endprint