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对一道高考试题的分析与研究

2017-09-27任凤琦

课程教育研究·新教师教学 2015年29期
关键词:过点定值切线

任凤琦

【中图分类号】G633.6

已知圆: 和点

(1) 若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;

(2)若 ,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求 的最大值.

分析:

(1) 由于点M有且只有一条直线与圆O相切,所以点M在圆上.

(2) 设 ,则

思考1: 根据基本不等式: ,只能求 的最小值,而不能求其最大值.

思考2: 根据重要不等式:

知道, 要求 的最小值,只需证明 为定值.当然,上述两个不等式中,等号成立的充要条件都是 .

解:(1) 由于点M有且只有一条直线与圆O相切,所以点M在圆上.

当 时,切线方程为:

当 时,切线方程为:

(2) 方法1(幾何法):分别作 ,垂足为E、F,设 则 .

当且仅当 时, 取到最大值 .

方法2(代数法):

①当AC垂直于x轴时, BD垂直于y轴, 此时,

②设直线AC的方程为:

由 ,得

设 ,则 .

.

设直线BD的方程为: 只要把 表达式中的k替换为 ,就得到 .

当且仅当 时, 取到最大值 .

综合①②,显然, 当且仅当 时, 取到最大值 .endprint

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