浅谈数学教学中培养的几种能力

张全喜

中图分类号：G633.6

培养学生的数学的解题能力是数学的最终目的，是数学教学的一项重要任务。应当贯穿于教学的始终。只有领悟和掌握以数学为载体的数学方法，思维水平才能得以提高，才能拥有浩瀚的数学世界。如何提高学生的解题能力，具体方法上可从以下几个方面入手：

一、培养数形结合的能力

数形结合的思想是指将抽象的数学语言与直观形象的图形结合起来，其实质就是将抽象的代数问题转化为直观的几何图形，通过对几何图形的处理，实现抽象代数与具体直观的几何图形的联系与转化，从而达到化难为易、化抽象为直观的目的，实现“数”与“形”的转化。

代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。研究“数”需要借助“形”， 研究“形”需要借助“数”，数形结合可使问题明朗化，比较容易地找到问题的关键所在，从而解决问题。如利用数轴的直观性帮助同学理解相反数、绝对值等概念，掌握有理数大小的比较方法，都十分容易。

例 已知：a<0，b>0，且a+b<0，比较a，-a，b，-b的大小。

分析：直接比較显然是麻烦的，但利用数形结合就十分方便。

因为a<0，b>0， 且a+b<0，所以a的绝对值大于b的绝对值。在数轴上可表示为

根据数轴上右边的数总比左边的数大，很容易确定a<-b

因此，今后的数学学习中，任何一道题，只要与“形”能结合起来，就要根据题意图示分析。这样做可以将抽象的问题直观化、复杂的问题简单化，容易找出问题的突破口。一旦尝到了甜头就会有一种成功的喜悦。如果能重视数形结合的思维训练，将会极大地提高解题的能力。

二、培养类比的能力

类比就是在思维中确定研究对象的相同点和不同点，进行比较，从中重新认识旧知识，接受新知识，达到温故知新的目的。

如初中有理数的运算同小学中的运算相比较就会发现：有理数的运算包括小学中的运算，主要区别在于处理好符号的的问题，也就是说有理数运算先确定数值的符号，再按小学中所学的方法进行，得出最后的结果。再如学习了一元一次方程的概念就可类比得出二元一次方程、三元一次方程的概念等等。

通过对旧知识和新知识的比较，就会搞清新旧知识之间的内在的联系与区别以及解决的方法，从而推陈出新，有利于对新知识的理解、记忆、运用。只要掌握了类比的思想方法，对学生的自学能力的促进、兴趣的提高、思维的激发都有很大的帮助。

三、培养方程的能力

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，最重要的关系是等量关系，最常见的等量关系就是方程。方程就是从问题出发，找出已知量和未知量之间的相等关系列出方程。从而通过已知量求出未知量。

例 现在时刻4时整，经过多长时间时针和分针第一次重合？

分析：（1）钟面上共分12个大格，每个大格表示1小时；每个大格又分5个小格，共有60个小格，每个小格为1分钟。4时整，时针和分针相差4个大格共20个小格。（2）分针转一圈时针仅转一个大格，如果把分针转一周看作“1”，那么时针在同样的时间内转过分针的十二分之一。（3）两针想要重合须使分针追上相差的20个小格，于是这个问题就变成了我们熟悉的“追及问题”了。（4）设经过X分钟时针和分针第一次重合，列方程为：

（1- ）x=20 解得X=21 所以经过21 分钟时针和分针第一次重合。

将时间时间问题转化为行程问题后，便于寻找等量关系列出方程，表面上看是一个与角度有关的问题，当介入未知数利用方程进行解决时，问题就迎刃而解了。这不失为一种好的思维方式。

四、培养化归的能力

化归即转化之意。就是将所学的知识或要解决的的问题，依赖一定的数学知识和方法技巧采取适当策略和手段进行转化，使之与已有的知识相联系，将要解决的问题或复杂的问题归到已经解决或容易解决的问题中去。比如，计算组合图形的面积，需要把这个图形进行分割，分割成已学过的长方形、三角形、梯形等，计算出它们各部分的面积的和就得到了组合图形的面积，而解决了问题。再如各种多元方程、高次方程，通过“消元”“降次”等方法，最终转化为一元一次方程或一元二次方程来解决。“转化”的思想是解题的重要思维习惯。面对难题或没有见过的题就要想到转化，也总是能够转化的。切实理解“化难为易、化繁为简，化未知为已知”的真正含义，掌握转化的思想和技巧是重要的解题方法之一。

五、培养分类讨论的能力

分类讨论是指对于要学习的知识或研究的问题，为了研究需要按照同一分类标准将研究对象分成不同种类，对每一类分别作出分析，进而达到获得知识或解决问题的目的。

例如：线段AB的长是12cm，BC的长是4cm，点P是AC的中点，求AP的长。

分析：仔细分析题意发现，C点可能有三种情况：

（1）C点在线段AB之间（如图1）（2）C点在线段AB的延长线上（如图2）（3）C点在线段BA的延长线上（如图3）

根据图示可从这三种情况进行考虑：（1）∵AC=AB-BC=12-4=8（cm）∴AP= AC= ×8=4（cm）（2）∵AC=AB+BC=12+-4=12（cm）∴AP= AC= ×12=6（cm）（3）∵BC>AB，∴不合题意。

所以AP的长是4cm或6cm。

对于有些数学问题的思考，要注意多种情况的可能性，从各种情况入手，细心地分析，利用数形结合、方程等把不同情况分类讨论解答，确保问题的全面、准确。

六、增强自信心是解题的关键

在数学解题中，自信心是相当重要的，要相信自己，只要是自己学过的，总是能用所学的知识解决问题，关键是敢于去做而且善于去做。具体解题时，一定要认真审题，不厌其烦地读题，领会题中的意义，紧紧抓住条件不放手，以此作为突破口，找出条件和问题之间关系的纽带，得出正确的结论。关键是要掌握必要的解题思路和方法就能顺利地对付无限的题目。解题需要丰富的知识，更要充满自信。没有自信心就会产生畏惧心理以至于“望题生畏”，就会放弃；只有自信才能勇往直前，才不轻易放弃，才会加倍努力地学习，才有希望迎接自己的明天。