一道高中学业水平考试题的解法与推广
2017-09-25唐钰淇
唐钰淇
【摘要】数形结合是一种重要的数学思想,数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例,提出此问题的几种常用解法,并将该问题推广到一般情形,得到几个基本结论。
【关键词】高中数学;数形结合;代数法;几何法;三角函数法
2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为:如图1,过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、,求的最大值。
一、几种解法
解法一:代数法
设直线的方程为,与圆的交点为、,满足,即,由韦达定理有
,,
则,,
①
直线与直线垂直,设其方程为 ,与圆的交点为、.类似可推得
②
由①和②有
③
当时,上式右边取得最大值,即最大值为.
另外,也可由①和②得
④
根据基本不等式有
即的最大值为4,此时,,两直线与轴的夹角均为45度.
解法二:几何方法一
如图2,设圆心为,连接、、、,作交于点E,交于点,则点、分别是、的中点. 由于,则四边形是矩形.
故,
则.
由基本不等式有.
解法三:几何方法二
如图2,根据圆的切割线定理,有
即⑤
因为OEPF为矩形,故
即⑥
由⑤⑥可得,则
从而可得.
解法四:三角函數法
如图2,设,
则,
则
⑦
当时,式⑦右边取得最大值1,即最大值为1,故的最大值为4.
二、一般情形推广
将此问题推广到一般情形如下:
问题:过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、,求的最大值.
解:如图2,设直线与直线的方程分别为和,与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一,可得
,,
,,
,
,
我们不难得到
且必须满足.
根据基本不等式,的最大值为.
同时还得出如下结论:
结论1:、两线段中点连线的长度为定值,等于原点到圆心的距离.
证明:、两线段的中点分别为、.则
.
结论2:、两线段中点连线的中点,与原点和圆心连线的中点重合.
证明:设原点和圆心连线的中点为,的中点为,则
,
因此的中点坐标与点的坐标相同.
根据结论2可以得出:
推论:、两线段的中点均在以为圆心,半径为的圆上.
结论3:等于连线所围区域面积的2倍.
证明:(1)当,即原点在圆之外,如图2,连线所围区域即阴影部分.
则.
(2)当,即原点位于圆内,如图3,所围区域为圆内接四边形.
(3)当,即原点位于圆上,、与原点重合,所围区域为直角三角形,因此 .
三、结束语
数形结合问题一般可以采用代数法、几何法、三角函数法求解,也可运用几种方法联合求解。在学习中,我们要根据实际情况灵活运用。对于某些具体问题,我们可以通过推广拓展至一般情形,从而更深入地分析和解决问题。endprint