“圆”来如此——透视220011777年中考题

骆丽叶

“圆”来如此
——透视220011777年中考题

骆丽叶

圆这一章所涉及的知识点多，且综合性较强，同学们在学习这一章时会遇到一些困难.下面我们结合2017年中考题和大家已学内容，一起来看看圆有哪些常考的内容吧.

考点一：圆周角

例1（2017·扬州）如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=_______°.

图1

【分析】如图2，连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据同圆的半径相等，进而求出∠OAC的度数.

图2

解：如图2，连接CO.

∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，

又∵AO=CO，

∴∠OAC=∠OCA=（180°-80°）÷2=50°.

【点评】求圆中角度的问题，若已知圆周角，可找该圆周角所对的弧，再找该弧所对的圆心角.更多计算还可以根据三角形的内外角关系，或内角和定理，或借助等腰三角形（圆的半径相等，可构造等腰三角形），或直角三角形（直径所对圆周角为直角）的性质等来计算.

考点二：垂径定理

例2（2017·黔东南州）如图3，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）.

图3

A.2B.-1C.2D.4

【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到，得出结论.

解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，

∴CE=OC=1，

∴CD=2CE=2.

故选A.

【点评】运用垂径定理求相关线段的长度，关键是构造直角三角形，利用勾股定理或者30°特殊角求解.

考点三：切线的性质与判定

【分析】（1）如图7，连接OB，由垂径定理的推论得OE⊥BD，弦被平分，弧被平分，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.

例3（2017·连云港）如图4，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为_______.

图4

【分析】如图5，连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB，可设圆的半径为r，根据勾股定理即可求出半径长.

图5

解：如图5，连接OB，设半径为r.

∵线段AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴r2+AB2=（r+AC）2，即r2+122=（r+8）2，解得r=5.

【点评】根据切线的性质求线段长度的问题，一般先找到直角三角形，再利用勾股定理使问题得以解决.

例4（2017·天水）如图6，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长.

图6

图7

（1）证明：如图7，连接OB.

∵E是弦BD的中点，

∴BE=DE，OE⊥BD，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠BOE=∠DBC，

∴∠OBE+∠DBC=90°，

∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线.

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

即弦BD的长为9.6.

【点评】证明切线的常用方法有两种：①连接过这点的半径，证明半径与这条直线垂直，问题（1）就是用这个方法；②过圆心做直线的垂线段，证明垂线段长等于圆的半径.问题（2）中，我们要知道若弦被直径平分，求该弦长度时一般是先求其一半，可通过直角三角形求解.

考点四：三角形与内切圆、外接圆

例5（2017·眉山）如图8，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）.

A.114°B.122°C.123°D.132°

图8

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB，由内心的概念得∠IBC=∠ABC，

∠ICB=∠ACB，即可求出∠BIC的度数.

解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，

∵点I是内心，

∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=57°，

∴∠BIC=180°-57°=123°.

故选：C.

【点评】此题考查了三角形的内切圆内心问题，解决这类问题的关键是理解内心的概念，再结合三角形的内角和即可完成.

考点五：圆锥的相关计算

例6（2017·大庆）圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为180°，则这个圆锥的侧面积为_______.

【分析】利用公式先求出母线长，再求圆锥的侧面积.

【点评】有关圆锥的计算问题，关键是理解圆锥的侧面展开图是扇形，其中圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥底面圆的周长为扇形的弧长，然后利用公式计算.

考点六：阴影部分面积的计算

例7（2017·临沂）如图9，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）.

图9

【分析】如图10，连接BD，弓形AD的面积等于弓形BD的面积，△DTB的面积即为阴影部分的面积.

图10

解：设AT交⊙O于D，连接BD.

∵BT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，

∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，

∴AD=BD=TD=2，

∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，

S阴=S△DTB=1.

故选：C.

【点评】求阴影部分面积，如不能直接用公式求解时，可将所求面积分割，利用旋转将部分阴影图形移位后，利用规则图形的面积相互加减求解.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）