有关“一元二次方程”的那些错

孙伟刚

有关“一元二次方程”的那些错

孙伟刚

“一元二次方程”是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.这块内容地位重要，向前可联接一次方程，向后可联接二次函数，因此在各地中考试卷中，该内容常常作为核心知识加以考查，旨在发展同学们的数学应用意识和能力，体现数学价值.

同学们，你们知道“一元二次方程”中哪些核心知识会受到命题老师的青睐和眷顾吗？其实，考点不外乎本章的重点和难点.具体说来，理解一元二次方程有关概念，会根据不同方程的特点选择恰当的方法解方程，会根据根的判别式判断一元二次方程根的情况以及运用一元二次方程解决实际问题等是本章的学习重点，其中概念的准确理解、解法的灵活运用及如何综合运用相关知识解决问题等是本章的学习难点.笔者想通过举例予以说明，请同学们慢慢往下看，从中体会与感悟.

一、一元二次方程的有关概念

例1下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（填序号）_______.

【考点】一元二次方程的定义.

【错解】①②③④.

【错因分析】首先要明确一元二次方程具有以下特点：（1）该方程为整式方程；（2）该方程有且只含有一个未知数；（3）该方程中未知数的最高次数是2.其次要知晓一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）.再次要学会判断方法，即：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就是一元二次方程.

【正解】①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此①不能确定是一元二次方程；②该方程不是整式方程，当然就不是一元二次方程了；③符合一元二次方程的定义，因此它是一元二次方程；④该方程中未知数的最高次数是3，不是2，所以它也不是一元二次方程.综上所述，正确答案为③.

二、解一元二次方程

例2解方程：x2=2x.

【考点】一元二次方程的解法.

【错解】方程两边同时除以x，得x=2，即原方程的解为x=2.

【错因分析】解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对本题来讲，同学们任意选择一种方法都是可以的（当然以恰当、简便的方法为首选），但不管哪一种方法，其理论依据就是等式的两条基本性质.等式的基本性质2指出，“等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），所得的结果仍是等式”.对于本题，方程两边同时除以x，由于不明确这里的x是否为0，因此不满足“等式的基本性质2”的使用条件，否则，就会出现失根现象.事实上，对于一元二次方程来说，要么没有实数根，要么就一定有两个实数根.因此，对于方程x2=2x的解，不可能只有x=2这一个解的情况.

【正解1】移项，得x2-2x=0，左边分解因式，得x（x-2）=0，所以x=0或x-2=0，

解得x1=0，x2=2.

【正解2】当x≠0时，方程两边同时除以x，得x1=2，当x=0时，显然能满足方程，因此x2=0，

所以x1=2，x2=0.

三、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

例3（2016·聊城）如果关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是_______.

【考点】根的判别式.

【错解】方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实根，则Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-

【错因分析】解决有关一元二次方程ax2+ bx+c=0的问题，应首先考虑a≠0这一前提条件，否则，像这一题，如果k=0，方程就成为-3x-1=0，这个一元一次方程当然只有一个根，根本谈不上“有两个不相等的实根”了.然后再考虑Δ的正负情况，即当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.因此，解这类问题的思路是：（1）二次项系数不等于0；（2）考虑Δ＞0（或Δ≥0）.

【正解】∵关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-且k≠0.

故答案为：k＞-且k≠0.

四、运用一元二次方程解决实际问题

例4据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用十分有限，2014年的利用率只有40%，大部分秸秆被直接焚烧了.假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2016年的利用率提高到57.6%，求每年的增长率.

【考点】一元二次方程的应用.

【错解】设该省每年产出的农作物秸秆总量为a，每年的增长率为x，根据题意，得

40%a（1+x+x）=57.6%a，解得x=0.22，即每年的增长率为22%.

【错因分析】根据上述假设的未知数可知，2014年秸秆的合理利用总量为40%a，2015年合理利用总量则为40%a（1+x）.由于2016年的秸秆合理利用总量比2015年又增长x，因此2016年的秸秆合理利用总量为40%a（1+x）+40%a（1+x）x=40%a（1+x）2.一般地，有关增长率问题有正、负两种类型：对于正的增长率问题，弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2=n求解，其中m＜n；对于负的增长率问题，若经过两次下降相等，则可利用公式m（1-x）2=n求解，其中m＞n.当然，还需检验所得方程两根是否符合实际意义.

【正解】设该省每年产出的农作物秸秆总量为a，每年的增长率为x，根据题意，得

40%a（1+x）2=57.6%a，

解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）.

∴每年的增长率为20%.

同学们，上述几个问题的错误解法具有典型性，反映出我们对一元二次方程有关概念认识模糊或理解不深；在解一元二次方程的方法选择上还缺乏有效性；再有，忽视了问题中的隐含条件.如有关一元二次方程的问题，不注意考虑二次项系数不等于0的情况；又如，在实际问题中，不考虑解是否符合实际背景等.希望同学们能从中吸取教训，举一反三，优化思维品质，从而促进思维发展.

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）