基于数学活动的抽象策略探析

2017-09-22江苏南京市浦口区城东小学赵瑞生

小学教学研究 2017年25期

江苏南京市浦口区城东小学赵瑞生

基于数学活动的抽象策略探析

江苏南京市浦口区城东小学赵瑞生

“抽象”是数学的本质特征之一，它既是数学教学中常见的思维活动，也是数学活动中最基本的思维方法。针对具体的学习内容，引导学生在体验中抽象、在操作中抽象、在比较中抽象、在探究中抽象、在创新中抽象等，长期训练，不仅有利于学生掌握数学知识、学会抽象的方法，还将有助于数学素养的提升。

数学活动抽象创新策略

“数学教学不能停留在直观和操作的水平，必须发展到‘形式化’阶段，在抽象的层次上思维。”数学中的抽象指的是 “抽取事物在量的关系和空间形式等方面的本质属性。”“抽象”是数学的本质特征之一，它既是数学教学中常见的思维活动，也是数学活动中最基本的思维方法。不仅“数学知识”的形成依赖于抽象，从历史的角度来看，数学的发展也是人类不断抽象的结果。在小学数学教学中，结合具体的内容，设计体验、操作、比较、探究、创新等活动，引导学生经历抽象过程，不仅能获取抽象的数学知识，还将学会如何抽象以及感悟数学抽象的基本特征，促进数学素养的发展。

一、在体验中抽象

体验是指学生在亲身经历的活动中获得的数学理解、情感体验以及生成新意义的过程。长期以来，我们的数学教学比较多地停留在知识教学的层面，数学知识只是作为一个符号留在学生的记忆深处，而没有引起学生强烈的情感体验和内在感受。走进教室的学生不是一张白纸，他们在生活中已经积累了一些关于数学的知识和初始经验。尽管这些“初始经验”可能“模糊、肤浅、零散、混乱”，甚至可能还没有明确的数学意义，但却是学生进行数学思考不可或缺的基础。设计数学体验活动，可以尝试从学生的“初始经验”入手。因为学生对熟悉的内容会感到亲切，接下来的学习就会觉得有趣并乐于接受挑战。

如教学 “分数的初步认识”（把一个蛋糕平均分为2份，每份是它的二分之一）时，可以先让学生用圆片代替蛋糕折一折、画一画，接着让学生演示。演示中，会出现两份一样大或者一份大一份小的情况。再让学生解释为什么这样操作，你认为哪种折法是对的？在比较、辨别中，学生理解了“平均分成2份”的意思是分成的两份要一样大。这两份分别叫作“一等份”“一等份”，合起来就是“两等份”，其中的一等份占两等份的二分之一。这就是把一个蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一的数学含义。

小学生由于受到年龄特征和知识水平的限制，往往不能参加“纯抽象”的数学活动，通常要借助有趣和有数学味的已有经验，借助“直观”进行“抽象”。本例中，学生经验中相等的“半个”“大半个”“小半个”是在生活中积累起来的。通过“折一折”，认识活动本身与学生的原始经验发生了关联，在好奇心、求知欲的参与下，经验被激活，学生基于自己的理解表达出了心中的二分之一。在 “辩一辩”环节，学生的情感与思维更是介入了对这个知识的理解，有同学会发现自己的错误并及时改正，主动吸纳别人的方法。活动的结果，除了收获了对所学知识产生的情感体验外，还生成了对二分之一的理解。错误的原始经验得到改造，成为同化新知的基础。学生在新的基础上，逐步理解了诸如三分之一、四分之一、五分之一等的含义，此时再抽象出“分子”“分母”的意义，初步认识分数。

二、在操作中抽象

“儿童的智慧集中在指尖上。”学生在操作时，手指间的触觉产生的刺激能迅速传递给大脑，引起大脑的兴奋，从而产生思考的愿望。操作后，要求学生离开具体的实物，脑中把刚才的操作过程回忆出来，根据操作中获得的具体经验和形成的表象，进行分析、综合、比较等思维活动，并及时抽象，获取数学知识。

如学习“长方形的面积计算”时，我首先安排操作：用几个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写下表。

长方形长/cm 宽/cm 正方形/个面积/cm21号2号3号

然后引导学生思考这样几个问题：长方形的长和宽与什么有关系？小正方形的个数与什么有关系？小正方形的个数与长方形的面积有什么关系？

接着，安排第二次操作：用1平方厘米的正方形量出下面长方形（长5cm、宽3cm）的面积并交流拼摆的方法。依次交流：全部摆满，每行摆5个，摆了3行，一共摆了15个小正方形，面积是15cm2。不摆满，第一行摆5个，摆3行，面积是15cm2。不用摆，直接在脑子里想摆的过程：长5cm，一行可以摆5个；宽3cm，摆3行；面积是15cm2。比较三种方法，可以得出：不用亲自去摆，只要在脑子里想摆的过程，就可以推算出长方形的面积。

最后，让学生推算长方形的面积。如长12分米，宽8分米；长8米，宽6米。交流推算过程。可以这样想：根据长是（），知道每行摆（）个；根据宽是（），知道摆了（）行；面积单位的个数有（）个，长方形的面积是（）。在此基础上，总结长方形的面积计算方法。

抽象是 “过程的内化、压缩到对象化的转变过程”。“过程的内化”是一个操作过程。本例中，通过第一次操作，发现三组关系：长方形的长和宽与每行摆的个数、摆的行数的关系；小正方形个数与长和宽的关系；长方形的面积与长和宽的关系。“压缩”是把熟悉的操作过程转化为一种心理操作，可以离开实物进行。通过第二次操作，发现可以“想摆的过程”：知道长是几，就知道每行摆几个；知道宽是几，就知道可以摆几行，求面积单位的个数可以借用“长×宽”算出来。“对象化”则是彻底摆脱具体实物的限制，发现了数学现象背后隐藏的规律（即长方形的面积计算公式），从整体上把过程的实质抽取出来。

三、在比较中抽象

有比较才有鉴别。比较是区别对象的相同和相异时常用的方法。运用比较的方法不能仅仅局限在同类对象或某一对象的不同侧面，不同类对象之间也可以进行比较。教学中，教师创设富有挑战性和探索性的问题或情境，引导学生进行比较，既可以促进学生深度理解和掌握知识，还能促进学生思维品质的发展。如教学“异分母分数的加减法”时，计算“”，可以安排三次比较。第一次比较，突出每种方法的特点以及它们之间的联系。学生尝试后通常会有三种方法。第一种：先折出，再折出，通过操作可以看出在比较中，学生明白了：第一种是折纸，后两种是转化。第二种是把分数化成小数，第三种是“通分”，这时让学生阅读教材，理解什么是通分。后两种算法虽然不同，但相同之处都是把不同的单位化成相同的单位，然后再相加。第二次比较，体验通分方法的普适性。可以安排学生计算类似的算式，并再次比较。学生会发现折纸不方便，如果分数不能化成有限小数，化分数为小数结果不准确，而通分能适应各种情况，既简单又方便。第三次比较，体验整、小数加减法与分数加减法之间的内在联系，引导学生发现加、减法运算的本质，是在单位相同的基础上，单位个数的加与减。

学生通过自主探索得到的方法是个体的 “创造”，这样的学习成果既包含个体对数学的理解，更体现了可贵的探索因子，但个体的成果还需在比较中优化。第一次比较，各种算法在交流中显现各自的特点。第二次比较，会发现各种算法的长处与不足，会发自内心地觉得“通分”方便，自觉进行算法优化。有了这样的体验过程，在计算中就会主动使用“通分”的方法。第三次比较，会发现各种加减法计算的本质相同——都是 “相同单位的数相加减”。此时的例题教学已经从单一的异分母分数计算深入到探索已学过的所有加减法之间的内在联系，在掌握新知的同时更加着力于培养学生思维的深刻性。

四、在探究中抽象

“猜想—验证是探究教学的核心成分。”探究有没有方向以及能否持续进行，关键在于能不能提出假设 (猜想)。如果能提出解决问题的假设，探究就会进行下去，否则，探究就无从进行或陷入盲目的“试错”活动。因为有了假设，就会形成一种悬而未决但又必须解决的求知状态，就能激发学生的认知冲动和创造性思维，学生就会针对假设搜集资料、寻找证据，开展验证假设的活动，对各种假设做出合理解释，直至找到问题的答案。

如教学“3的倍数的特征”时，由于已经学了2和5的倍数的特征，受思维定势的影响，学生自然认为3的倍数的特征也和个位上的数字有关。因此，做出类比猜想：“个位上是0、3、6、9的数是3的倍数。”举例验证，发现猜想是错误的，同时也可以得出结论：不能仅凭个位上的数字来判断一个数是不是3的倍数。那又该从什么角度思考呢？学生产生了新的认知冲突。此时，可以安排如下的教学过程：（1）猜想。出示百数表，按顺序找出3的倍数并圈出来，自己观察，大胆猜想3的倍数有什么特征；（2）交流。组内交流、小组汇报，得出结论：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；（3）验证。百以内3的倍数有这样的特征，百以上的数呢？引导学生想出验证的方法，在小组内对猜想进行验证；（4）辨析。不是3的倍数的数会不会也有这样的特征；（5）总结。各数位上数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。经历上述过程，学生不仅学到了数学知识，还在不知不觉中学习了科学的探究方法，获得类比可能无效、碰壁后需要改变策略等的宝贵经验。

“2和5的倍数”的特征和“3的倍数”的特征真的没有联系吗？为什么判断“2和5的倍数”只要看个位？而判断“3的倍数”却需要看各数位上数字之和呢？因为一个整十、整百、整千数一定是2和5的倍数，如一个三位数472，可以写成：100×4+10×7+2，100×4+10×7一定是2和5的倍数，所以只要看个位上的数字。472=100×4+10×7+2=99×4+9×7+ (4+7+2)，99×4+9×7一定是3的倍数，而(4+7+2)就是各数位上数字之和。如果一个三位数用100a+10b+c表示(想想为什么)，你会推理吗？如果是四位数呢？

根据“2和5的倍数”的特征类推出“3的倍数”的特征，原本容易产生负迁移，却因深究其内在本质而联系起来，这样探究的价值在于引导学生透过表面看到知识的内在规律，经过这样的感染与训练，将促进学生认识数学的理性特征。

五、在创新中抽象

“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。”学生与生俱来就有探究的兴趣和愿望，因而结合具体的学习内容，引导学生创新符合学生个体内在的发展需要。数学学科特有的直观与抽象、逻辑严密和广泛运用，为学生发挥潜能、进行创新提供了广阔的空间。因此，数学教学要唤醒学生固有的天性，以教学创新带动师生关系、学习方式等方面的实质性变革，引导学生经历“再创造”的过程，真正获得富有生命活力的数学知识，将知识的获得过程和生命的提升过程协调起来，让每个学生的自由个性获得可持续性发展。

如教学“两位数乘一位数”，首先呈现情境：湖面上飞过3队大雁，每队12只。一共有多少只？学生列出算式12× 3后，让学生先用小棒摆一摆，再说说可以怎样算。因为小棒操作直观形象，突出了计算原理，所以学生会有如下的算法。方法1：12+12+12=36；方法2：3个2是6，3个10是30，合起来是36；方法3：2×3=6，10×3=30，6+30=36。这三种不同的想法之间是相互联系的，为接下来理解竖式计算的过程做好了铺垫和准备。

接着，要求学生把这样的想法写成竖式。学生通常会这样写：