浅谈高中数学排列组合问题中的教学策略

朱柳霞

大连市普兰店区第三中学

浅谈高中数学排列组合问题中的教学策略

朱柳霞

大连市普兰店区第三中学

排列、组合是高中数学的重要知识之一，它与以往知识联系不多，又是后续学习部分概率知识的基础.由于它应用广泛，题型多变，而解题方法十分灵活，切入点多且抽象性强，在解题过程中极易出现重复或遗漏现象，因此学生初学这部分内容，普遍感到难于把握，不容易得分。本文结合教参上提到的解题策略，结合教材内容以及以往学生存在的不足，对相应的习题进行了整编，仅供教学参考。

排列；组合；解题方法；教学策略

结合教师用书中提到的合理分类与准确分步法、正难反易转化法、混合问题“先选后排”法、特殊元素“优先安排法”等十二种排列、组合问题求解策略，对教材上内容做以下处理，目的就是以教材为本，由浅入深，从易到难，通过在同一个题干所形成的不同环境中，感受不同的条件下解决排列、组合问题思维方式的变化；以及不同题型条件下，相似排列组合问题解题的相近之处，引导学生从不同角度把握每一种解题策略的特征，以及不同题型的切入口。

1.题型一、密码及数字问题

例用0到5这六个数字可以组成：

⑴没有重复数字的四位数？

⑵没有重复数字的能被5整除的四位数？

⑶比2000大且没有重复数字的自然数？

解析：⑴合理分类与准确分步法；根据所选数字中是否含“0”分为两类：

⑵合理分类与准确分步法；先根据个位数字能被5整除分为个位数是“5”或“0”两大类，（其中个位数字是“5”时，又按照是否含“0”分为两小类）；

⑶合理分类与准确分步法；根据比2000大四位、五位、六位数分为

变式练习：从1,3,5,7,9中任取三个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，可以组成多少：

⑴无重复数字的五位数？

⑵万位、百位和个位是奇数的无重复数字的五位数？

⑶千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？

解析：⑴混合问题“先选后排”；先从1,3,5,7,9中任选三个奇数，再从2,4,6,8中任选两个偶数所以共有=7200；

⑵特殊位置“优先安排”；根据万位、百位和个位是奇数，先从五个奇数中选三个排好，再从四个偶数中选两个安排十位和千位，所以共有=720种方法；

⑶特殊位置“优先安排”与混合问题“先选后排”相结合；先从五个奇数中选两个安排千位、十位，再从剩下的三个奇数中任选一个，四位偶数中任选两个数字，安排相应的顺序，所以共有=2160种方法。

2.题型二、队列问题

例将2个男生和4个女生排成一排：

⑴男生排在中间的排法有多少种？（）

⑵男生不在头尾的排法有多少种？

⑶两个男生相邻的排法有多少种？

⑷男生不相邻的排法有多少种？

⑸男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？

⑹2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？

⑺男生甲必须站在男生乙的左边的排法有多少种？

⑻男生甲、乙之间恰好隔一人的排法有多少种？

解析：⑴特殊位置或特殊元素优先考虑；从六个位置中选取中间两个位置安排男生就座，剩下四个位置安排四个女生就座，共有=48种方法。

⑵特殊位置或特殊元素优先考虑；从六个位置中，剔除头尾的四个位选取两个安排两个男生就座，然后在剩下的四个位置安排四个女生就座共有=288种方法。

⑶相邻问题一“元”法；先将两个男生排序后看作一“元”，与剩余的四人，构成五“人”进行排序，共有=240种方法。

⑷不相邻问题“插空法”；先安排四个女生就座，在四个女生就座后产生的五个空隙中安排两个男生就座，共有=480种方

法。

⑸不相邻问题“插空法”与特殊位置或特殊元素优先考虑法相结合，先安排四个女生就座，在四个女生就座后产生的空隙中，除去首尾空隙共三个，三个空隙安排两个男生就座，共有=144种方法。

⑹总体淘汰法；这个问题直接考虑分类情况比较多，且“易重易漏”，这是一个典型的适用总体淘汰法的例子.在六个人全排的排法中，减去男生甲与该女生相邻，再减去男生乙与该女生相邻的排法，然后加上该女生同时与男生甲、乙相邻的排法，所以共有。

⑺顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排；甲必须在乙的左边，即甲乙顺序一定，共有种方法。

⑻局部问题“整体优先法”；这种方法与“相邻问题一‘元’法”非常类似，但涉及到先选后排，在除去甲、乙剩下的四人中任选一人在甲、乙中间，再给甲、乙排序，然后看作一“元”，与剩下三人全排，所以共有=192种方法。

变式练习：1.有六个人分成两排就座，每排3人：

⑴有多少种不同的坐法？

⑵如果甲不能坐第一排，乙不能坐第二排，有多少种不同的坐法？

⑶如果甲和乙必须在同一排且相邻，有多少种不同的坐法？

⑷如果甲和乙必须在同一排且不相邻，有多少种不同的坐法？

解析：⑴分排问题“直排法”；若没有特殊元素，只是简单的分排，“分排”问题直接转化成“直排”，所以排法共有=720种；

⑵特殊元素“优先考虑”与分排问题“直排法”相结合；“甲不能坐第一排，乙不能坐第二排”，所以在第二排选一个座位给甲，在第一排选一个座位给乙，然后剩下的元素采用“直排法”，所以共有=216种排法；

⑶特殊元素“优先考虑”与捆绑法相结合；先在两排中给甲、乙选一排，再将甲、乙看成一“元”，安排甲、乙的顺序后，再安排同一排左边或右边就座，剩下元素采用“直排法”就可以了，所以共有192种排法；

⑷特殊元素“优先考虑”与“直排法”相结合；先在两排中给甲、乙选一排；因为甲、乙不相邻，就安排甲、乙在这一排的左边或右边就座，剩下元素采用“直排法”就可以了，所以共有=96种排法。

2.有6个座位连成一排，安排3个人就座，⑴恰有两个空位相邻的不同坐法有多少种？

⑵任何两人不相邻的坐法有多少种？

解析：⑴正难反易转化法；直接在座位上安排人就座，情况复杂，不易解决.换一种思路，先给三人排座位，让空座位插空，所以共有=72种排法；

⑵正难反易转化法；⑵与⑴类似，方法也类似，分3人中每两个人之间恰有一个空位或3人中某两个人之间恰有两个空位两种情况，所以共有=24种排法.

3.题型三、分组问题

例将6名应届大学毕业生分配到3个公司：

⑴3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人去丙公司，有多少种不同的分配方案？

⑵一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的公司去1个人，有多少种不同的分配方案？

变式练习

1.六本不同的书，按照以下要求处理，有几种分法？

⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；

⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；

⑶一人得一本，一人得两本，一人得三本；

⑷平均分给甲、乙、丙三个；

⑸平均分成三堆，有几种分法；

⑹一人得四本，两人分别得一本。

解析：本题重点考察题目中隐含的条件是否考虑顺序，首先要审题，清楚是分组还是分配问题.其中分配问题又分为定向分配问题与不定向分配问题，⑴分组问题，故有=60种分法；⑵定向分配问题，按照题目“甲得一本，乙得两本，丙得三本”的要求，分步完成任务，本身就涵盖顺序，所以共有=60种分法；⑶分组问题，因为接收的对象不同，所以先分组后排列，所以共有360种分法；⑷定向分配问题，本小题与⑵类似，“选”时已经完成了“排”序，所以共有90种方案；⑸平均分组问题，除

2.六本相同的书，按照以下方法处理，有几种分法？

⑴分给三个人；⑵分给三个人，每人至少一本；

解析：相同元素“隔板法”；⑴分给三人，就可能某人或某两人一本书也没分到，在六本书产生的七个空隙间，随机加入一个空隙，然后插入两个隔板，共有C82=28种分法；

⑵因为分给三人，每人至少一本，就在六本书产生的五个空隙间插入两个隔板，共有C52=10种分法。

总结

通过上述内容的设计，学生对排列、组合中常用的解题策略应该会有一个辩证的认识，遇到类似的问题应该可以下手，但依旧不足以规避出现“重复”和“遗漏”的错误，除多加练习外，建议教学中，辅助以课件展示，形象直观的展示各种方法的区别和联系，强调数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想方法的重要性，形成总结解题规律，掌握若干技巧。

[1]普通高中课程标准实验教科书[M].2007（4）：3-36；

[2]普通高中课程标准实验教科书教师教学用书[M].2007（5）：8-10；

[3]钱金田.高中数学排列组合几种常见题型及解法[J].中华少年·教学版，2010（12）：161-162.

[4]杨万贵.高考数学中解排列组合问题的几种常用方法[J].时代报告刊，2013（2）：325-325.

[5]王忠富，刘晓平.队列问题“十六问”[J].语数外学习·高考数学，2009（2）,48-50.

朱柳霞（1982-），女，山西泽州人，一级教师，硕士，辽宁省大连市普兰店区第三中学。