过程生动思维真实体悟真切

【摘 要】在教学中如何准确地把握教学的起点、设计恰当的材料和问题，往往是能否启动学生思维活动的关键所在。针对张亮老师在“三次函数的图象与性质”的教学中创设问题情境、激发学生思维、自主思考探究等环节的具体实施，阐述了数学教学的几个关键点和教学建议。

【关键词】三次函数；数学思想；课例评析

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）59-0061-03

【作者简介】严必友，南京市教学研究室（南京，210001）主任，高级教师，江苏省特级教师。

2017年5月7日至9日，我有幸参加了第12届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动的评审工作。这次活动的主题是“人在课中央”，这是对人与课堂、人与课程、人与教学辩证关系的形象、深刻而又精到的表达，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。一方面，这里的“人”不僅包括学生，也包括教师本身，师生在课堂中同生共长，相互促进，相互推动，教学相长；另一方面，“课”是一个载体，一个平台，学生不仅学习课程，也在生发课程，丰富课程；所有的教学环境、设备、内容、手段、方法等皆应服务于人，服务于人的发展，让学习活动真正发生。

南京市第一中学张亮老师执教的“三次函数的图象和性质”一课，很好地体现、落实了“人在课中央”这一主旨精神，基于学情，从学生出发；创设情境，从问题出发；调动学生，让学生真正参与；因材施教，体现差异和选择；注重思想渗透、规律总结，让学生在课堂有实实在在的“增值”。张老师在课堂上设计了6个问题，以这6个问题贯穿了整个教学内容。下面择要进行分析。

一、研究学情，以学定教

在苏教版教材中，三次函数是函数研究的一个重要载体。在必修1第3章中的“幂函数与函数的应用”、理科选修2-2、文科选修1-1中“导数应用”的教学中，有很多问题都是以三次函数为载体进行研究的。所以，很有必要以三次函数为专题研究对象，对三次函数进行学习研究，让学生比较系统、全面地掌握它的图象和性质。同时，学生在学习了导数以后，也为研究三次函数提供了有效的方法和工具。

本节课学习是以导数研究函数的方法为主线，探索三次函数的图象特征和相关性质。一方面引导学生对三次函数的图象和性质进行探索、梳理和总结，另一方面进一步理解导数思想，掌握用导数研究函数的基本方法，其研究过程和方法具有普适性、一般性，可以迁移到其他函数的研究中，研究过程也是学生体验数形结合、分类与讨论、化归与转化等数学思想与方法应用的过程。

学生在先前已经学习了导数的概念、运算，对导数在研究函数（单调性、极值与最值）中的应用有了初步的认识。学生已经了解了一些具体的三次函数（比如y=x3）的图象和性质，也具有了一定的分类讨论、化归与转化等意识和能力。

但是学生还缺乏对一般意义上的三次函数的图象特征和性质的整体认识，需要在思考、探究、合作、交流中逐步完成对三次函数图象特征和相关性质的直观认识与理性思考，形成完整的知识架构。

学生尚未完全掌握利用导数研究函数的一般方法，尤其是对不熟悉、较为复杂的函数的研究，而且研究过程中需要应用到许多与之相关联的知识与方法。所以，应该通过具体问题的实际操作，让学生经历具体的思考、研究过程，提高学生分析判断、解决问题的能力，体验数形结合、分类与讨论、化归与转化的思想方法。

我们看到，在上述学情的背景下，张老师达到了以下教学目标：1.从具体问题出发，让学生经历三次函数图象特征和性质的研究过程，掌握利用导数研究函数的一般方法，体验数形结合、分类与整合、化归与转化的思想方法；2.在理解导函数值的正负与原函数单调性关系的基础上，掌握三次函数的图象特征和相关性质及其应用；3.通过三次函数图象和性质的探究，经历从简单到复杂、具体到抽象的过程，培养学生自主探究、乐于探索的良好品质，以及发现问题、提出问题、解决问题的意识与能力。

二、学为教本，依学而教

张老师设计的6个问题，针对教学的不同环节，各有侧重。以前3个问题为例，第1个问题是画出函数f（x）=x2+2x-3的大致图象。由学生各自在练习纸上作图，教师查看、指导，了解、记录他们各自的思路和方法。学生已经学习过二次函数的图象和性质，在此基础上通过对具体二次函数大致图象作图方法的讨论，明确作图的常用方法。三次函数的研究需要借助于二次函数的图象和性质，这里也为下一步研究做了知识和方法上的铺垫。

第2个问题的教学片段如下。

师：借助二次函数，可以研究什么函数呢？

生1：应该是函数g（x）=■x3+x2-3x

教师故作惊讶，未置可否。有的学生表示赞同，有的学生流露出疑惑的眼神。

生2：我认为应该是三次函数g（x）=■x3+x2-3x+d

师：d是什么？

生2：d是任意常数。

师：为什么？你是如何得到的？

生2：这个问题等于是求一个新函数，它的导数是f（x）=x2+2x-3，那它应该是一个三次函数，我用待定系数法求出了这个函数，它的导函数就是这个二次函数，而且它具有一般性。

这里是一次非常重要而且有价值的拓展，学生实际上解决了一个求不定积分的问题，而且运用的是简单的待定系数法。尤其对常数项不确定的讨论体现出思维的深刻和严密。

第3个问题是探索三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象和性质。这一问题的求解对学生具有很大的挑战性，通过对导函数判别式的分类讨论，先研究导函数图象与x轴的关系，从其开口方向以及与x轴的交点个数探求出原函数的大致图象和性质，这体现了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，有助于学生从一般意义上理解并把握问题的本质。endprint

在学习研究了一般三次函数的图象与性质的基础上，学生对解决问题的一般方法已经有了大致的了解，此时，需要对学生的掌握情况进行反馈和巩固，以发现问题、及时矫正。为此，张老师提供了一道例题，供学生探讨。教学过程如下。

已知函数f（x）的导数f ′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1

（1）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值，并作出函数的图象；（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；

学生练习，教师巡查指导。

教师用投影展示学生的求解过程：

（1）由已知得，f（x）=x3-■ax2+b。

由f ′（x）=0，得x1=0，x2=a。

∵x∈[-1，1]，1

∴當x∈（-1，0]时，f ′（x）>0，f（x）递增；

当x∈（0，1]时，f ′（x）<0，f（x）递减。

∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1。（图象略）

又f（1）=1-■a+1=2-■a，f（-1）=-1-■a+1=-■a，

∴ f（-1）

由题意得f（-1）=-2，即-■a=-2，得a=■。

故a=■，b=1为所求。

我们看到，这是一道应用巩固题，既对三次函数的图象与性质起到了反馈巩固的效果，又联系了有关导数研究函数的基本方法，使新旧知识相互关联，融为一体，从而帮助学生深化理解，提升能力。

三、思绪万千，余味悠远

听完了张亮老师的这一节课，给了我很多的启发和思考。我想到了当前的课堂，想到了数学教学，想到了学生数学学习的困难和艰辛。

纵观本节课的教学过程，其主要内容是以导数研究函数的方法为主线，探索三次函数的图象特征和相关性质，并且在具体问题的应用中进行消化、巩固。学习过程是一个不断提出问题、解决问题的过程，学生在不断分析问题、解决问题的过程中学会思考、探究、总结、提升，思维不断被激发，有了真实的思维参与、感受体验和深度学习。

首先，如何让每一个学生的学习活动都能真正发生？要因材施教，关注每一个学生的学习背景和学习方式，充分考虑到学习内容的差异性和选择性。教师在备课时要充分考虑到学生的客观实际，精心设计不同的问题、材料和情境，并对学生的学习活动作出预判和准备，在教学中为他们提供适当的台阶。在这节课中，教师能充分结合学生的知识基础和生活经验提出问题，引发学生的认知冲突。这在日常教学中是最为宝贵的，只有准确诊断、把握学生的基础、困难和需求，探明了学生学习的真实位置，才能科学设定学习的起点，使学习活动真正发生。而脱离了学生的学情坐标，教师的教学可能就是一种主观臆断和一厢情愿，必然事倍功半甚至劳而无功。其实，学生在课堂上的真实思维是最为宝贵的，我们不应过分追求思维的严密性、科学性和正确性，只要是真实的思维就是有价值的东西，哪怕是断断续续或者星光点点。

其次，教师没有用自己的思维或者个别学生的思维替代全体学生的思维，而是始终让学生去思考、解决问题，并关注学生的思维、探究过程，通过展示、比较、分析，寻找路径和方法。本节课的教学充分体现了方法提炼的过程性特征，让学生在解决问题的过程中逐步形成。卢梭在《爱弥儿》中写道：“我们在路上不是像驿夫那样追赶路程，而是像旅行家似的沿途观赏。我们的心中不只是想到一个起点和终点，还要想到起点和终点间相隔的距离。”叔本华也曾说过：“记录在纸上的思想，不过是像在沙上行走者的足迹而已。我们也许能看到他走过的路径，如果我们想要知道他在路上看见了什么，则必须要用我们自己的眼睛。”在这节课中，教师尽可能地让学生走进问题，身临其境，用自己的观察和思考获得真知。

在本节课中我们不难看出，教师选择的问题也是浅显而基本的，这说明一个朴实的道理：在基本的甚至简单的问题中也可以讲清深奥的道理。教学中不宜过分追求问题的难度和技巧，这样会妨碍部分学生参与思维活动，甚至会延误、冲淡主题。概念教学应该注意这样几个重要问题：要在真实的情境中引发问题，在对问题的思考中启动思维，在分析、比较中形成概念，在巩固应用中深化概念。

再次，教师在教学过程中十分注重方法和规律的及时总结和提炼，使学生有留得下、带得走的东西。教学不是一种排演和过场，透过材料、问题和结论，背后有哪些有价值的东西值得体味？西方有一种教学观点很值得我们学习和借鉴：教学中看得见、摸得着的东西往往不是最重要的。数学教学的背后有一个抽象的，能够用数学、逻辑学、语言精确表达的东西，即规律、规则、模型，这才是需要学生体悟的。

课堂应该是思维的放飞、思想的洗礼和精神的遨游，是一次真实而生动的经历和体验，充满着困难、挑战和艰辛，也伴随着突破、成功和喜悦。