浅析数学复习中分类讨论思想的渗透

樊建斌

所谓分类讨论，主要指当问题所显示的对象不能采取统一研究的方法进行解答时，根据题目给出的分类标准进行分类，再逐类讨论，最后对综合性问题做出完整解答.诸如此类先进行分类，再进行讨论，把问题“分而治之，逐个击破”的思维方式就是分类讨论的思想.其实质也是一种化繁为简、化难为易的解题策略.

在数学思维中，分类讨论思想占据着较为重要的地位，影响着学生对基础性知识的理解、对基础性技能的掌握以及思维能力的发展、数学素养的形成等.近年来，很多中考题都以考查分类讨论思想为目的，但是得分率却相对较低.究其缘由，一是教师对学生知识的生成关注过多，缺少对解题思维的渗透；二是教师侧重对题型的讨论，缺少对思想方法的提炼；三是教师注重学生系统知识的积累，缺少对思想方法的归纳.下面笔者从实际课堂教学出发，浅析初三阶段数学复习教学中对学生分类讨论思想的培养策略.

一、了解学生的认知局限，培养学生的分类讨论意识

在著名的教育、发展心理学家皮亚杰看来，学习是人们构建其内部心理表征的一系列过程，因而学习者在这一活动过程中并不是简单地将其外部的知识“搬运”到记忆中，而是将原有的知识、经验作为基础，然后与外部的环境、条件发生相互作用，以此来构建属于自己的新图式.在进入初三的复习阶段后，学生接触的与分类讨论相关的问题已经不在少数，但是仍有大部分学生缺少分类讨论意识，不会运用分类讨论方法.为了逐步使学生养成分类讨论的意识，教师应在教学中遵循逐层递进、适时渗透、深化渐进的原则.

（一）在思维展示中培养分类讨论意识

当碰上分类讨论问题时，教师应先从了解学生的基础性认知能力入手，通过创设平台，给足机会，引导、鼓励学生，让学生将解题思维过程与解题策略进行自我表述，进而使其不足与缺陷充分暴露，教师根据实际情况采取有针对性的指导措施.

例1：一个外角为110°的等腰三角形，它的3个内角应分别为多少？

这个题目看似简单，但答案并不唯一.答案一，分别为“70°、70°、40°”；答案二，分别为“55°、55°、70°”.大多数学生通常情况下只能找到一个答案，教师要引导学生分享自己的解答思路，从中找到其个人化的不足之处，进而培养学生分类讨论的能力，避免“漏解”现象的发生.

（二）在自我探究中培养分类讨论意识

初三阶段的课堂教学要以学生的生理、心理阶段性特征、认识水平、知识结构等为基础，促使学生在学习过程中形成自我探究的意识.

例2：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）均为y=■这一反比例函数图像上的点，且x1>x2，那么y1与y2是什么关系？

对于这样的题型，一般情况下，大多数学生会从“负数小于正数”入手，将x1放置在x轴的正方向上，将x2放置在x轴的负方向上，从而得到答案y1>y2.此时，只要教师提醒学生注意关键条件：x1>x2，学生可能马上就会意识到其所在位置的特殊性——不确定性，发觉x1、x2的对应点可能会出现在x轴的正方向上，也可能出现在x轴的负方向上，进而提升分类讨论意识.

二、正视学生的认知规律，培养学生的分类讨论能力

数学教学不仅要教授学生数学知识，更要注重对学生数学思维的培养.因此在开展分类讨论教学的过程中，教师应正视学生的认知规律，根据学生的实际认知能力开展教学活动，同时，教师要关注学生的知识生成与发展过程，最终培养学生的分类讨论能力.

（一）确定分类的对象

当数学题中出现较为隐含的关系时，例如相等关系、不等关系，我们首先要将能确定关系的数量作为分类对象

例3：某超市自6月3日起就开始提供有偿、可循环使用的环保购物袋（3种），每只的售价不同，分别为1、2、3元，每只的最大容纳量分别为3、5、8千克.6月10日那天，小红和爸爸一起在该超市购买了20千克的散装大米，他们分别选购了环保袋，总共3只，试问他们应付多少钱于所选购的环保袋？

对于这个题目，教师可以引导学生先确定分类对象，如“选购环保袋的总数为3只”，因而可以确定的数量是3，从而可以将其确定为分类对象.类似的，若题中出现的是关于直角三角形、平行四边形、梯形等图形时，我们可以从其边长或角度等入手，确定分类对象，进而确定解题思路.

（二）选择分类的标准

确定题中的分类对象是解题的前提，那么接下来就要确定分类标准.根据问题所给的条件、所涉及的概念、结论等内容寻找题中分类的标准点.如例3中，已将环保购物袋的数量确定为3，选定分类标准：如题可知，3种购物袋的价钱分别为1、2、3元，因而可能存在①3只均为1元或2元、3元；②有2只为1元，1只为2元；③2只为1元，1只为3元；④2只为2元，1只为1元等诸多情况.

（三）推理严密、不重不漏

确定分类的对象、选定分类的标准之后，要完成逐类求解，需要我们密切关注题中所给的条件以及所涉及的知识点，并结合严密、合理的推理，做到不重不漏.

例4：两个三角板叠放在一起，将△AOB固定，让△ACD绕着点A顺时针旋转（α度），试问当△ACD的一边与△AOB的一边平行时，其角度应为多少？（0<α<180）.

大多数学生选择借助三角板进行解题，结果往往会出现遗漏.教师可以指导学生注重审题与分析题干中的条件，例如角的范围，进而从多角度进行讨论，最终做到不重不漏.

三、对学生进行专题性、系统性训练，提升其分类讨论能力

分类思想的掌握不是一朝一夕的事，教师在教学中要重视对学生进行专题性、系统性的训练，进而提升他们的分类讨论能力.

（一）利用题中的不确定性字词，捕捉隐含性信息

1.隐含点的不同位置

隐含点不同位置情況：（1）点 A 在 x轴上（可能在正半轴，也可能在负半轴，或在原点）；（2）抛物线与x 轴间有公共点（可能是一个，也可能是两个）等.

2.隐含线的不同位置

隐含线不同位置情况：（1）直线平移时与⊙O相切（可能是一次，也可能是两次）；（2）函数图像y=ax2-ax+3x+1 与 x 轴有且只有一个交点（没有确定是何种函数，因而可能是一次函数，也可能是二次函数）等.

3.隐含图的不同位置

隐含图形不同位置情况：矩形ABCD在滑动中被 x 轴分成两部分，其面积比为 1∶4（不确定其上下两部分的具体面积比值，可能是 1∶4，也可能是4∶1）等.

（二）借助圆规，寻找数形结合的捷径

对于涉及到线段、角度等问题的题目，可以提倡学生借助圆规等工具进行解决.

例5：在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，其中点A、点B分别为A（-4，0）、B（2，0），若点C处于y=-■x+2上，那C点的坐标是？

此题中，A、B、C三点均可能是直角的顶点，已知A、B两点的坐标，因而可借助圆规、利用相关定义来画圆，进而将C点坐标找出.

（三）重操作能力，降低分类讨论难度

运动型、折叠型问题极易在变化的过程中产生不同的结果，因而对大多数学生而言，难度相对较高，因而更需要采取分类讨论的方法.例如教师可以鼓励学生动手剪出与题中相同的图形后按照其运行轨道、折叠方式进行操作.虽然这一方法在实际的解题中会受到限制，却可以激发学生的积极性，增强其讨论的兴趣，有利于分类讨论思维的形成.

“分类讨论思想”不仅考查学生数学基本知识与方法的储备情况，也考查学生思维的深刻性，作为初中阶段的引导者，教师不可轻视其重要性，以学生的实际情况为基础，设计适宜的习题训练，从而提高学生全面考虑问题的能力以及数学思维的周密性与严谨性.endprint