研究性学习中的数学建模教学

陈莹璐

数学不单纯是数学知识的演绎和推理，还是一种工具.各类学科的研究和发展离不开数据分析，与人们生活息息相关的实际问题基本上都可以抽象为数学问题加以解决.课堂教学要以学生的发展为本，为学生做好知识储备，把理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识和能力，让学生学会从数学的角度去审视问题、分析问题和解决问题.数学建模是对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证的过程.本人从多年来的教学实践中体会到，教师从学生感兴趣的生活实例入手，对问题进行数学建模，能激发学生学习的热情，促使学生逐步养成运用数学思维的习惯.就像数学家哈尔莫斯说的，“问题是数学的心脏”.只有感受心脏的跳动，才能感受数学的活力.下面我就研究性学习中的数学建模教学谈谈自己的看法.

一、基本理念具有一定的时代性

近几年，对实际问题的考查在中考数学中频繁出现，当数学问题被融合到实际情景中，难度就提升了很多，既要考查学生对数学信息的提取能力，又要检测学生的数学建模能力，得分率不高.如2016年台州中考题：

保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30厘米.一位同学的眼睛位置记为B，肘关节位置记为C，笔端位置记为A，这三者位置关系可以抽象成△ABC.已知BC=30厘米，AC=22厘米，∠ACB=53°，该同学的坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由.

该题转化为数学问题就是已知三角形的两边和一角求第三边的问题.教师在平时的教学中只有采取有针对性的教学方法和教学策略，才能有效地培养和发展学生的抽象思维和数学建模能力.

传统的数学教学法是由一堆数字、一个问题、一个解法构成，即给出数学题，再解数学题.这种最直接、最感性认识的课程教学，也给学生造成了数学远离生活、远离大众的错觉，致使学生缺乏利用数学工具解决实际问题的能力.

亚里士多德曾说过：认识是由感觉开始，由个别事实上升到一般概念.换言之，知识是建立在由经验而获得的各种基本感觉的基础上，学生只有参与到活动中才能形成能力.研究性学习是指学生在教师指导下，从自然现象、社会现象和现实生活中选择研究并主动获取知识、应用知识、解决问题的学习活动.这与新课程强调重视学生的学习过程，强调学生通过自己的思考去获取知识，做到教学联系学生的生活实际，发挥学生的主体性是完全一致的，具有一定的现实意义.

数学建模教学法注重学生数学思维的形成过程，引导学生对问题进行推理，培养学生的抽象思维，在复杂的事物中抓住重要的数学信息，寻找问题的突破口.在数学建模过程中，学生能够体会到数学知识不是孤立的，它来自于生活又服务于生活.学生运用数学思维去观察、分析社会热点，解决日常生活中的问题，激发了学好数学、服务社会的奉献精神，培养了与人合作沟通的能力.

二、教学环节符合人的认知规律

在研究性学习中，数学建模教学法的教学设计过程是：教师先创设问题情景，再引导学生以研究性学习方式进行数学建模，最后用数学知识解释该类数学模型.这种从建模的角度引领学生学习数学知识的方法，能有效地把数学学习和数学应用结合起来，实现学生学科专业学习和数学社会价值的双体现，符合学生的认知规律.

1.创设问题情景，激发求知欲.

例：一个三角形的三条边为a，b，c，其中a=6cm，b+c=10cm，求解这个三角形面积的最大值.

在教学中，教师可以让学生拿出事先准备好的线与图钉来做实验：①剪下一段16cm长的线，结成一个环；②把细线的6cm长的一段拉直并固定这段线的两端B、C；③在细线的另一部分任取一点A，拉动点A，使细线围成△ABC；④移动点A，观察何时△ABC面积最大.在实验活动操作的情景中，让学生自己去寻找正确答案.

2.运用抽象概括，导入新课题.

思考：①把一根16cm的细线结成一个环，目的是什么？②固定B、C能保证什么条件？③拉动点A，在移动A的过程中△ABC中什么在变化？什么始终不变？④你能发现点A运动过的轨迹是什么图形吗？

学生实验后得出：将绳结成一个环，目的在于让它构成周长为16cm的三角形；固定B、C能保证BC边长为定值6cm；移动A的过程中边长AB、AC跟着变，BC边上的高也跟着变，但AB和AC的和不变，BC边长不变，即△ABC的周长一定；点A的运动轨迹是一个椭圆（见下图）.

3.建立研究模型，形成数学知识.

例：求解椭圆上点A运动到什么位置时，△ABC的面积最大？

學生在实验中发现，点A到BC的距离最远时，△ABC的高AD最大，此时它在椭圆的最高点或最低点，△ABC的面积最大.从而使学生得出：当三角形一边为定值，另外两边相等时，它的面积最大.

4.解决实际问题，享受成功喜悦.

如：已知三角形的三条边为a、b、c，其中a=6cm，b+c=10cm，计算△ABC面积的最大值.

学生从实验中得出，当AB=AC=5cm，△ABC是等腰三角形时，此时高AD最大，为4cm，所以这个三角形面积的最大值是：S△ABC=■×6×4=12（cm2）.

5.加强归纳总结，深化教学目标.

例：一个三角形的三边长为a、b、c，其中a=6cm，a+b+c为定值，求：①满足条件的三角形有几个？它们有什么共同点？②面积为最大值时，b、c两边有何数量关系？

学生在实践中发现，满足条件的三角形有无数个，但它们第三个顶点都落在同一个椭圆上，b=c时，三角形面积有最大值.从而可以归纳得出：对任意三角形，如果一条边长为定值，周长一定，那么第三个顶点必落在某一椭圆上，并且当椭圆上的点到两定点距离相等时三角形面积最大.

在问题情景的探讨中促进学生联系所学的知识和技能，发挥已有的数学思维，能够培养他们创造与发现新事物的能力，使学生更积极地参与到课堂教学中，表达自己的想法，使程度不同的学生均得到发展.整个环节设计突出，以学生为本，留出让学生自主支配的时间和空间，把课堂还给学生，使学生变被动学习为主动学习.这种解决实际问题的数学化研究探讨过程使学生感受到数学与自然社会及其他学科的密切联系，增强了他们的学习兴趣，符合认知规律.endprint

三、 教学方式的有效选择

研究性学习的特点是重过程、重应用、重体验、重全员参与，这些特点正好与素质教育的精神完全一致，在研究性学习中，数学建模教学方式可以灵活多样.

1.从课本中的数学问题出发，培养学生数学建模.

初中数学课本中就有全面调查和抽样调查的实践课，教师要认真指导，不要让学生的调查流于形式.数学建模教学法会使学生调查更有方向，目的更明确.如：课本对中小学生的视力调查.课前教师先布置调查任务：（1）调查的对象是谁？（2）怎样选择调查对象才有代表性？（3）怎样处理调查数据？（4）从数据中你得到了什么结论？（5）通过调查，你认为哪些是影响中小学生视力的主要因素？

2.从生活中的数学问题出发，培养学生数学建模.

生活中處处有数学，借助生活事例得出数学原理，更有利于学生理解和消化.如在“直线与圆的位置关系”一课中，教师可以先让学生观看海上日出的视频，用数学的眼光分析太阳与地平线属于哪类几何图形；如果把硬币当作太阳，把直线当作地平线，模拟海上日出的过程，你觉得直线与圆的位置关系应分为几种？依据是什么？

3.从社会热点问题出发，培养学生数学建模.

学生是祖国的未来，让他们参与国事、家事、天下事的讨论，有利于培养他们对社会的责任感.如：“统计调查”教学中，教师让学生对“你怎样处理废电池”或“中小学生非正常死亡原因”等社会热点问题展开调查，得出统计调查方法，有利于学生头脑中数学模型的建立，引发学生对学习之外的社会问题的更多思考.

4.通过实践活动或游戏培养学生数学建模.

有些数学建模就建立在实践活动或游戏中，如：勾股定理的证明，教师可以事先准备一些直角三角形和正方形，让学生利用若干个直角三角形或正方形拼凑成一个规则的多边形，如果学生拼凑成功，再让他们利用手中的图片尝试证明a2+b2=c2，让学生归纳出勾股定理及证明勾股定理的方法.

5.选择其他学科问题，培养学生数学建模.

各学科之间是相互融合、相互促进的.数学作为一门基础学科，可以从数学的角度帮助其他学科解决问题，同时其他学科也为数学提供丰富的建模题材.如：力学之父阿基米德说过“给我一个支点，我可以撬动地球”.小强欲用撬棍撬动一块质量为150千克的大石头，阻力臂为0.3米，动力F与动力臂L有怎样的数量关系？①当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？②若想使动力F不超过题①中所用力的一半，则动力臂至少加长多少？③有不同长短的撬棍，你怎样选择才能比较省力？④请用函数知识解释“给我一个支点，我可以撬动地球”.

学生对这样的实际问题会感到新奇，教师可以帮助学生从多种角度、用多种方式挖掘与数学相关的联系进行数学建模，激发学生的数学学习积极性，在活动探究中提升学生的数学思维水平.endprint