重视导数教学 提升学生数学素养

侯军

在高中数学知识中，导数涉及到的部分非常广泛.导数的知识虽然是在选修的课本中，但是对于学生来说算是必修的内容.导数给学生提供了一种极限的思维，同样也提供了一个“难啃的骨头”.与导数知识相关的题目形式多样、技巧性强且联系紧密，教师在教授导数这部分内容的时候，应该在教学设计上多下功夫，让学生打牢基础，进而将导数知识融会贯通.

一、全面系统，夯实基础知识

在讲解基础知识的时候，教师必须要让所有的学生都掌握.在很多情况下，学生出错的原因并不是思维能力不够，而是基础知识不牢固，解题的时候不严谨.教师可以采取随堂小测的方式巩固学生的基础知识，学生通过动脑思考，加深对基础知识的印象，进而夯实学习的内容.

在学习“导数”这一章节，“基础知识”部分时，我首先给学生设立必要的“学习目标”，让这个目标来引领他们学习：“了解函数的概念，理解导数的几何意义.会用求导公式……”我首先让他们进行对 “求导公式”的学习，“求导公式”是学生必须要掌握的，这是最基础的内容.为了利用好“问题化”的原则，教师在这部分最好设置“自我质疑”，用小题来检验学生掌握基础内容的情况.在讲解了求导法则的基本形式后，我让学生去求log2x、3x、-2cosx的导数，这都是学生们很容易出错的.还有一些复杂的情况，比如求f （x） = ■+■的导 数，在求导的时候，就涉及到复合求导的内容：ex求导后不变，学生还要了解根式的求导以及商的求导法则.再有就是求切线方程的问题，f （x） “已知函数y =f （x）的图像经过点P（2，5），且图像在点P处的切线方程是2x-y+1=0，则f '（2）为多少？”这道题是简单的导数运用问题，目的是让学生熟悉求导过程，在P处的切线方程为y=2x+1，这是求导后的式子，那么就可以通过求导公式推出原来的式子为x2+x+c，再结合点P的坐标，将其带入到式子中去，5=4+2+c，即c=-1，函数f （x）=x2+x-1.

在高考中，基础知识所占比重较大，但是往往学生们都不太重视，只在拔高题上下功夫，最后的结果是都没有兼顾到.所以在打基础的时候，教师应该让学生认识到基础知识的重要性，使其端正态度，进而专心致志地投入到课堂学习中来.

二、抽丝剥茧，把握概念本质

在刚接触“导数”的时候，学生对导数的意义很难理解，教师可以通过引用他们熟悉的实例，来让学生更好地理解.让学生理解导数的基本概念，了解其实际含义，对提升学生认知很有帮助.

在课上我举出的引例是牛顿和莱布尼茨曾经用到的经典引例：“瞬时速度”和“切线斜率”.学生在此之前已经学过高中物理的基本知识，了解了瞬时速度的定义，即物体在某个点瞬间的速度，用公式表达就是■.所以位移公式求导得到的就是速度公式，位移公式为x=vo t+■at2，求导之后为x'=vo+at，正好是速度公式，这样学生就能重新认识物理老师在教位移与时间图像的时候，为什么会将整个图形分解成一个一个的矩形了，其实就是用到了导数的知识.而对于“切线斜率”问题，就要从导数的定义式来考虑了.导数的定义式为：Limx → x0 ■，这个式子和直线斜率的公式非常类似.只是导数的定义式中增加了一个条件，即x要趋近于x0.导数的定义式对所有函数图像都适用，通过极限的思维，两个点离得非常近就可以近似看作是一个点，不管函数的图像是直线还是曲线都适用.

教师要让学生了解到导数的重要性，并且了解其抽象的概念.对函数y=f （x）在x0处进行求导，其实就是求（x0，f （x0））处的切线斜率.学生在这里能够打下良好的基础，以后学习用导数求函数的基本性质就容易多了.

三、分多类讨论，转化函数最值

最值问题在导数问题里非常重要，在这个问题里，首先要考虑函数的极值点，还要考虑函数的端点值和区间问题.学生在做这方面的题时，经常会遗漏，导致解题出现错误.

为了能够帮助学生在最值问题上提高准确率，我对此问题进行了重点讲解.首先求函数的单调性.对于函数的单调性要结合导数的图像来求，f '（x0）>0即f （x）为增函数，f '（x）<0即f （x）为减函数.对于极大值点，如果是x0，那么在x0附近的点，要求f （x）

通过导数去了解函数的一些基本性质，能够让学生认识到导数的重要作用.学生对导数的学习比较吃力，教师应该多带学生总结解题步骤，让学生学会循序渐进地学习.导数的最值问题需要考虑很多条件，但是通过做题不难发现，这类题都是可以总结出规律的，教师应该引导学生去掌握.

四、结合真题，突破含参问题

导数里面的含参问题，也是比较考查学生能力的一类题.在高考数学中，求参数的取值范围很热门，学生在这里失分很严重.所以教师有必要进行讲解，让学生掌握解这类题的方法.

求参数的范围一般会用到分离参数法和分类讨论法.我以高考题为例：“设函数f （x）=ex-1-x-ax2，若当x≥0时f （x）≥0，求a的取值范围.”最简单的是分离参数，求谁就将谁分离出来.可以通过将式子进行变形，最终求函数的最值问题.当x=0时，f （x）=0，然后将a分离出来后，函数变为a≤■，这个式子在x大于0的情况下恒成立.g（x）=■，对其求导得g'（x）=■，只要能证明它在x大于0的情况下是增函数就可以了.令h（x）=xex-2ex+x+2，再证明它是增函数，就可以解决这道题了，这样一分析，高考数学题就不难了.如果采取的是分类讨论的方法，对f （x）求导后，f '（x）=ex-1-2ax，然后再求导f ''（x）=ex-2a，当f ''（x）=0时，x=ln2a，那么此时就需要对a进行分类讨论了.根据已知，我们需要f '（x）在x大于0时也是总大于0的，那么当x=ln2a时，f '（x）取到的最小值必须大于0.那么就需要将a的范围化为a<■、a=■和a>■，下面还需要很多计算，不难看出，第一种方法比较简单.教师应该指导学生首先考虑参数分离法，行不通时才采取分类讨论法.

求参数的取值范围，不管是分类讨论法还是分离参数法，想法都是很简单的，但是学生在运用的时候很容易思维混乱.教师应该在平时的教学中多让学生去分析解题的过程，并且多练习，以突破这个难点.

导数可以和高中数学的很多内容进行结合，比如数列、三角函数、圆锥曲线等，需要学生具备较强的逻辑思维能力.在平时的教学中，教师应精心设计课程，帮助学生更好地理解导数知识，进而全面提升学生的数学素养.