在圆锥曲线中双切线的k联立处理

宋昱霖

摘 要 在圆锥曲线章节中，过一点向曲线引发两条切线的模型常常出现。我们在本文中称它为“双切线问题”，双切线问题形状判断不难，画出图往往就可以确定。然而本知识包括两个完全不相关的考点，其一：是我们熟悉的“切点弦”，其二：就是我们今天探讨的知识点“k联立”。

关键词 圆锥曲线 双切线问题 k联立

中图分类号：G634.6 文献标识码：A

如何从题干条件把握考点是学生们处理双切线问题的重要难点。下面从几个例题分别阐述。

例1、设M、N为抛物线上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线，，与分别交于两点，且与相交于点，若。

（1）求点的轨迹方程

（2）求证：的面积为一个定值，并求出这个定值。

解：（1）设点，

直线是过点的任意直线

把它与抛物线联立

得到

我们需要直线与曲线相切，即联立方程：

即：

得到：。其中：

，

，

故

即：

所以有：

故点轨迹：

【分析】由图可知，本问考查双切线问题。阅读核心条件，发现，考查的是两点的横坐标，也就是两条切线的横截距，只跟两条切线有关，与切点并无关系，因此考查的知识点是“k联立”。

（2）由（1）

设，

由切点弦定义有

联立得

∴

到直线距离

∴，有（1）得

∴

【分析】本问重点考查了直线，包括弦长和距离。属于标准的切点弦问题。

例2、已知圆心率的右焦点F为（x1）2+y2=1的圆心，过上动

点作两切线交于、.求最大值时，点的坐标？

解：由题意，

设

直线是过点的任意直线

把它与圆联立

直线与圆相切

即圆心到直线距离

得到：

∴，

，即

同理

设，

求导解得当时，取得最大值

∴

通过这道题，可以看出在代换两点后，可利用韦达定理求截线长，再通过椭圆方程代换解题。

弦长间接考查两条切线，属于标准的双切线k联立问题。

例3、抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点，。

（1）求；（2）求证：直线恒过定点；（3）设（2）中直线恒过定点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（1）已知：点

设直线是过点的任意直线

把它与抛物线联立

得到：

我们需要直线与曲线相切，即联立方程：

即：

所以

【分析】两切线相互垂直，即斜率乘积为，考查切线本身，k联立。

（2）点，其中

由切点弦公式可以推出，代入

得到 必过焦点

【分析】切点连线过定点，需要使用上问结论，标准的切点弦问题。

（3）設，其中，即

联立方程得到：

∴

∴定值

【分析】通过切点弦方程反推切线公共点，属于切点弦知识的应用。

通过以上例题我们可以总结出两个知识点的具体区分是：考查切点——切点弦；考查切线本身——k联立。牢记判定条件，使用正确的解题方法，是解决双切线问题的核心要义。endprint