基于活动 突出转化 意在探究——三角形中位线定理的教学设计与思考

●刘华为 (岭南中学，上海 200435)

基于活动 突出转化 意在探究
——三角形中位线定理的教学设计与思考

●刘华为 (岭南中学，上海 200435)

文章基于三角形中位线定理的教学设计与实践，对如何通过开展有“数学味”的操作活动发现定理，借助“知识溯源”式的转化思想剖析定理证明的思路生成过程，强化从“教怎样做”到“教怎样想”的学法指导的同时，突出对学生探究能力的培养．

数学活动；知识溯源；转化思想；探究能力

《数学课程标准》指出：教师的教学设计与课堂组织要多开展一些有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，体验知识的建构过程，改变学生的学习方式，开发他们发现问题与解决问题的探究意识与潜能．鉴于此，笔者从操作活动入手，以转化思想为引领，以问题驱动为保障，对“三角形中位线”教学进行了探究性设计与尝试，取得了可喜的效果．

1 教学设计与课堂实践

1.1 定理的发现

探究1 请问能否在△ABC纸片上只剪一刀，使剪开后的两个图形可以拼成一个平行四边形？

图1

每次教学，总有学生能给出图1所示的操作方案，即沿着AB,AC的中点连线DE剪开，可以拼成一个BCFD．

设计意图 常规的操作方式是先要求学生沿中位线剪开，再拼成平行四边形．该设计之所以逆向操作是想在增加思维量的同时，让学生由被动操作者变为主动探究者．

问题1 你是怎么想到沿AB,AC中点的连线剪开?

因为沿着△ABC的某个顶点一刀剪开后的图形是两个三角形，而且无论怎么剪所得的两个三角形都不全等(原三角形为非等腰三角形)，不能拼成平行四边形；而不过顶点一刀剪开后所得的两个图形中一个是三角形一个是四边形，若要拼成平行四边形，则必有重合的两条边相等，相对的两条边也相等，故想到过两边的中点连线剪开．

设计意图 就方案形成后的操作而言,学生并不感到棘手，关键是很少有学生想到这样剪．因此，设计此问的主要用意在于引导学生不仅要知道“怎样做”还要知道“怎样想”，从而学会思考、学会分析．

问题2 既然线段DE有一定的特殊性，那么能否给它起个既能反映其特征又很生动形象的名字呢？

学生给出了一些名称，如“中半边线(既突出了位置关系又反映了数量关系)”“平拼线(着眼于平分与拼图)”“二中线(突出了线段的生成)”等．在表扬学生的创意后，笔者给出三角形中位线的定义，并引导学生比较上述名称与课本名称的优劣，加深印象．

设计意图 不奢望学生能给出“中位线”的概念，意在通过思考加深学生对“三角形中位线”特征的认识与理解，培养他们语言的提炼能力，渗透创新意识．

定义 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

问题3 观察拼图(图1)，关于三角形的中位线你有什么新发现？

设计意图 该设计除了引导学生发现定理外，还有意培养学生敏锐的观察力和透过现象挖掘本质的发现力．

1.2 定理的证明

定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

图2

有了拼图的启发，学生比较容易添出如图2所示的辅助线并加以证明，但一旦失去拼图“梯子”，学生可能对如何添辅助线又不知所措了．为了切实培养学生分析问题的能力，笔者又从知识转化角度对辅助线的自然生成加以引导和解读．

虽然平时笔者也曾引导学生从知识转化角度对一些几何题的证明方法的思路生成加以解读，但面对问题3时学生的回答仍未切中要点．于是笔者又借助下列问题逐步驱动：

问题5 到目前为止，我们已学过的“与线段二倍关系有关”的知识点有哪些？

主要有：线段中点定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于斜边的一半等．

设计意图 从转化角度而言，数学问题都是运用所学过的知识点加以解决的，因此帮助学生回顾所学过的知识源就是明确解决问题的思考方向．

问题6 结合条件，本题适合用哪个知识点处理？

由于缺少直角三角形，故本题宜选择知识源“线段中点定义”处理．而运用线段中点定义处理两条非共线线段的二倍关系主要有“截半”长线段和“倍长”短线段两种方式，从而把证明两线段间的倍数关系转化为证明两条线段间的相等关系．

图3

若取BC的中点F，联结EF，添出如图3所示的辅助线，则需证明EF与DB平行且相等，回到了三角形中位线定理的证明，陷入了循环论证的死结.因此，只能倍长DE，至此如图2所示的辅助线添法也就呼之欲出了，证明更是水到渠成．

设计意图 通过对知识源的剖析与选择，强化择优意识，提升调控受阻思维的技巧．

探究2 能否从证明DE∥BC入手添辅助线？

问题7 与两线平行有关的知识源有哪些？

证明两线平行的知识源主要有：同位角或内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、平行于同一条直线的两条直线平行和平行四边形对边平行等．

问题8 结合条件，若要证明DE∥BC，则应该选用哪个知识源？

虽然从图形来看，欲证DE∥BC已具备平行线判定定理的基本特征，但无法证明角相等或互补，思路受阻；另外又缺少第3条平行线，故本题宜选择知识源“平行四边形对边平行”来证明．

图4

理所当然，图2就是构造平行四边形证明DE∥BC的一种方法，其实还有另一种添辅助线的方法．既然构造平行四边形，不妨构造矩形更易操作，为此分别过点D,E作DM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N(如图4)，易知DM∥EN，若能再证得DM=EN，则问题迎刃而解．

问题9 与线段相等有关的知识源有哪些？应该选择哪个知识源来证明DM=EN？

知识源主要有：线段中点定义、全等三角形对应边相等、等角对等边、线段中垂线的性质、平行四边形对边相等和等积式(利用多边形面积相等构造方程)等．

设计意图 上述问题6～8除了能进一步拓宽学生分析思路外，还能培养学生思维发散能力和思维优化能力．

1.3 定理的应用

题组1 直接应用

1)在△ABC中，E,F分别是BA,BC的中点，若EF=4 cm，则AC=______cm；若∠BEF=60°，则∠A=______．

2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连接两条直角边中点的线段长为______．

3)在△ABC中，E,F,G分别是AB,BC,AC的中点，若△ABC的周长为18,面积为12，则△EFG的周长为______，面积为______．

设计意图 这3个小题，让学生直接利用三角形的中位线定理解决，提高学生运用所学知识解决问题的能力，其中第3)小题突出整体思想及定理证明方法(构造平行四边形)在习题中的运用．

题组2 组合应用

图5

如图5，在四边形ABCD中，若E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的中点四边形．

1)试判断中点四边形EFGH的形状；

2)若四边形ABCD为菱形，试判断中点四边形EFGH的形状；

3)若四边形ABCD为矩形，试判断中点四边形EFGH的形状；

4)若四边形ABCD为正方形，试判断中点四边形EFGH的形状．

先由学生独立思考，若学生想到连接对角线AC或BD，则教师可以追问“你是怎样想到的”，启迪没想到的学生适时反思，学会分析；若学生没有思路，则教师可通过“由中点你想到了什么”和“要证明一个四边形是平行四边形有哪些方法”两个问题驱动学生积极思考，力求从知识转化角度加以剖析，从而促成探究解题思路的自然生成．

设计意图 教师引导学生运用三角形的中位线定理进行推理，感悟两个四边形形状之间的依赖关系．

探究3 若中点四边形EFGH分别为菱形、矩形和正方形，试确定四边形ABCD所满足的条件．

借助几何画板动态演示，引导学生对题组2进行反思，从解法中感悟“中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置与数量关系”，再逆向思维探究出结论：

1)若中点四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD的对角线相等，反之亦成立；

2)若中点四边形EFGH为矩形，则四边ABCD的对角线互相垂直，反之亦成立；

3)若中点四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，反之亦成立．

图6

设计意图 一方面强化学生运用三角形中位线定理处理问题的能力；另一方面强化学生逆向思维的意识，激发他们的探究热情，养成刨根问底的良好思维习惯．

题组3 实际应用

1)如图6，点A,B分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，请你根据三角形中位线定理帮助小聪设计一个测量方案，测量工具只有带有刻度的尺子．

2)是否还有其他测量方案？请你课后思考并设计出测量方案．

设计意图 把课本中的引例改编成方案设计与课后思考题，既突出“数学来源于生活又服务于生活”的新课程理念，强化学生的实际应用能力，又让探究活动延伸到课外．

2 教学反思

2.1 操作活动要有数学味

基于“数学教学应把证明作为探究活动的自然延续和必要发展”，不少定理的学习往往都是从活动开始的，引导学生在操作中发现定理并加以证明．三角形中位线的教学也不例外，只不过常规的操作活动往往都设计为直接让学生沿三角形中位线剪开，再拼成平行四边形．如此一来，操作就是一种形式，学生只是教师设计的操作程序的执行者，缺乏主动性和能动性，至于怎么想到这样剪和为什么这样剪却一概不思，不利于能力的形成与发展．相反，笔者的逆向设计是一种既动手又动脑的操作活动，剪拼方案不是直接呈现，而是要求学生自己设计，使他们在一剪一拼的思考与探究中，加深对三角形中位线特征的认识和性质的理解，凸显了浓浓的数学味．

2.2 转化思想要有知识本

新课引入时设计的动手操作活动,其积极意义在于融定理的发现与证明于一身，极大地降低了辅助线的生成难度，为问题的顺利解决巧妙地搭好思维的“梯子”．毋庸讳言，这种精心的设计在一定程度上又扼制了学生能力的发展，因为这种顺梯爬的思维习惯养成后，一旦失去“梯子”学生依然会束手无策．而数学问题都是运用所学过的知识解决的，因此从化归思想出发，以知识溯源为切入口，引导学生剖析思路生成的必然性才是培养学生问题解决能力的根本途径与重要保障．正因为如此，笔者在动手操作和定理证明后，总引导学生从“证明线段二倍关系”和“两线平行”两个方面入手，借助知识溯源逐步探求辅助线生成的必然性，切实提高学生处理问题的能力，收到了可喜的效果．另外，转化思想虽然越来越受到广大同仁的重视，但往往都倡导模型式转化(即尽量多地建立解题模型好让学生套模解题)，忽视了从知识转化角度在根本上培养学生分析问题的能力，应引起反思．事实上，只有坚持两手抓才是有效培养学生解决问题能力的科学处理策略！

2.3 核心素养要有探究魂

近年来，大力培养学生的数学核心素养已越来越得到广大同仁的高度认可和极力推崇．所谓数学素养通常是指人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的优良品质，是人们在与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的基本策略．而笔者认为核心数学素养至少要保持对事物的一颗好奇心和一份探究热情，能够从对情境的观察中敏锐地发现问题并挖掘其本质，总结出有超越价值的规律．这就要求教师在教学中加大对学生探究意识的渗透和探究能力的培养.

因此，在本节课中，无论是定理的发现、定理的证明，还是对中点四边形与原四边形关系的规律探究，笔者都设置了必要的探究性学习情境，通过观察猜想验证，以问题驱动引发学生探究意识，激发学生的探究热情，逐步培养学生良好的探究习惯．

总之，本节课采用了“问题—探究—发现—应用”的启发性教学模式，让学生在充分动脑、动手、动口的同时进行了探究性学习．教师巧妙地创设了活动平台，通过转化思想的有机渗透，把探究意识植根于学生的学习之中，突出了发展性学习能力的培养．

反思1 如果更换题目中的条件和结论，那么命题还成立吗？为什么？

说明 例1首先通过判定方法ASA(板书3)得到△ABE≌△ACD，进而根据全等三角形的对应边相等(板书4)得到AD=AE.此外，教师根据学生对反思1的回答情况继续复习全等三角形的判定方法AAS(板书5)和SAS(板书6).

反思2 如果不改变题目条件，你还能得到什么结论？

说明 继续观察△ABE≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等(板书7)得到∠AEB=∠ADC，进而得到∠BDC=∠CEB.

还可以根据AB=AC，AD=AE得到BD=CE，进而可得△BOD≌△COE，更进一步又可以得到新的对应边和对应角相等.

反思3 联结AO，则图2中共有几对全等三角形？

反思4 如果将题目中的图形进行简单变换，那么又会有怎样的结论呢？

说明 通过反思引出下面的变式练习1～5.

1.3 变式练习

变式练习1 如图3，BD=CE，请你添加一个适当的条件：______，使△BDC≌△CEB.

(课本第42页例5)

图3

说明 由例1中的结论开放到变式练习1中的条件开放，可以进一步复习全等三角形的判定方法SSS(板书8)和针对直角三角形所特有的HL判定方法(板书9).

值得一提的是，在课堂教学中有的学生说添加条件∠D=∠E可以判断△BDC≌△CEB，接着便有学生反对说：“SSA不能判定两个三角形全等.”此时,教师敏锐地抓住了课堂教学中的精彩“错误”,并顺势追问：“你能帮助他改正吗？”进而自然地得到直角三角形全等的判定方法HL.

此外，在课堂教学中需要说明由图2是如何得到图3的：隐藏AD和AE，联结BC.

变式练习2 如图4，点D,C在BF上，BD=FC，AB=EF，∠B=∠F，求证：∠A=∠E.

(课本第39页第2题)

图4 图5

变式练习3 如图5，已知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D.

1)求证：AC∥DE；

2)若BF=13，EC=5，求BC的长.

(课本第44页第11题)

说明 通过变式练习2和变式练习3进一步复习全等三角形的判定方法SAS.此外，在变式练习2的课堂教学中，教师一定要给学生说明如何由BD=FC得到BC=DF.

此外，在课堂教学中需要说明由图3是如何得到图4的：将△BEC沿BC向右平移一定距离；由图3是如何得到图5的：先将△BDC沿BC翻折，然后将得到的新三角形沿BC平移一段距离.

变式练习4 如图6，已知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE.

(2016年湖北省武汉市数学中考试题第18题)

说明 通过变式练习4进一步复习全等三角形的判定方法SSS.此外，在课堂教学中同样应该说明由图3是如何得到图6的：将△DBC沿BC向右平移一定距离形成新的三角形，并保留原△DBC，去掉△ECB.

图6 图7

变式练习5 已知△ABM和△ACN的位置如图7所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.

1)求证：BD=CE；

2)求证：∠M=∠N.

(2016年四川省南充市数学中考试题第19题)

说明 通过变式练习5主要引导学生体会一题多解，特别是一个题目的两个小题之间的“递进”关系.此外，在课堂教学中需要说明由图2是如何得到图7的：只需将△ADC绕点A顺时针旋转适当的角度得到新图形，然后将新图形“摆正”即可.

1.4 整合提高

图8

例2 如图8，△ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，AE与BD交于点O，联结OC.求证：

1)△ACE≌△BCD；

2)∠BOC=∠EOC.

说明 对于学生而言,这个问题在新授课结束后的复习课中呈现可能有一定的挑战性，但是这类问题(旋转全等)还是非常容易理解的.此外，该题还有一个非常重要的作用，那就是引入本复习课的第二课时(角平分线的性质、判定及相关综合问题，此时板书10)，做到课堂教学的承前启后.

1.5 课堂小结

图9

说明 通过课堂小结将本节课所复习的相关内容“串珠成线”(如图9)，帮助学生在课堂教学板书(如图1)的基础上进一步构建知识网络，特别是引导学生体会不同图形之间的关系，使学生掌握相关学习方法，培养进一步学习数学的兴趣.

1.6 随堂检测(略)

1.7 布置作业

要求在本节课所讲的题目中选择典型问题进行整理，并将其与知识树或知识框图中的相应知识点对应.

说明 这样的作业设计增加了学生选择的自主性，学生在选择过程中可以培养学生良好的学习习惯，重要的是可以培养学生的自主反思意识.

1.8 板书设计(见图1)

2 教学立意

2.1 源于教材，高于教材

本节课的设计定位于新授课结束后的复习课，这样的复习课是将所学知识简单地过一遍吗？显然不是的.笔者以教材中例题(典例呈现)再现的形式引入新课，接着引出了教材中另外几个例题或习题(变式练习1～3)，体现了“源于教材”的设计思路；随后又给出两个相关中考试题(变式练习4～5)，在进一步巩固所学知识的基础上，消除学生对中考试题的恐惧，体现了“高于教材”的设计理念.

2.2 一题多变，一题多解

本课的设计将一题多变(图形变式)体现得淋漓尽致.在课堂教学中笔者通过几何画板软件动态地给学生展现了不同图形之间的变化，加深了学生对相关知识的印象.

此外，本课通过交换条件和结论(反思1，为后续学习相关几何图形的“性质”和“判定”打下了坚实的基础)；在图形中增加字母或线段(反思2和反思3)；对图形进行平移、翻折、旋转(变式练习1～5)等3种变式方法，以期加深学生对课本第32页第一段话“一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等”的印象，重要的是这样做在加深学生对平移、翻折理解的基础上，也为后续学习旋转奠定了坚实的基础.

值得一提的是，在变式练习5第2)小题的教学中还渗透了“一题多解”，引导学生体会不同方法之间的联系与区别.

2.3 学会学习，勤于反思

2016年9月13日，《中国学生发展核心素养》正式发布，它指出中国学生发展核心素养表现为文化基础、自主发展、社会参与这3个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为18个基本要点.这18个基本要点之一是勤于反思(属于学会学习)，其重点是具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验；能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法等.

可以看出上述课例所做的努力就是在教会学生“学会学习”(如上文提及的3种变式方法以及板书设计和最终知识网络的构建)的基础上进一步培养学生的反思意识(如反思1～4等).

当然，我们为此所做的努力还是初步的，期待更多的一线教师参与进来，开发出更多的优秀复习课课例.

2017-05-27

刘华为(1968-)，男，安徽肥东人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-23-04