拨开云雾见天日 守得云开见月明——谈“f(x)·ln x”问题的一类简化算法

●王 强 (常州市第二中学，江苏 常州 213003)

拨开云雾见天日 守得云开见月明
——谈“f(x)·ln x”问题的一类简化算法

●王 强
(常州市第二中学，江苏 常州 213003)

高三数学模考中经常出现“f(x)·lnx”这类函数，如果先将lnx孤立出来，“拨去云雾f(x)”，往往只要求导一次，可避免多次求导，而且在后续的解题中也能减少讨论，终能“见月明”(解出题目)，这个算法极大地减少了运算量.

孤立；求导；算法

新修订的《江苏省高中数学课程标准》提出:数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现.它是在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学运算是六大核心素养之一，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，具体体现在理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果[1].

1 问题由来,算法对比

笔者认为，运算能力的培养关键在于在做题中“学”和“悟”.为此，针对一些运算较为复杂的问题，我们应全方位地选择运算方法，在各种方法中“学”和“悟”其中的算理，运算能力提升才能得到有效的落实.2017年江苏省苏锡常镇一模试卷的第19题第2)小题满分为10分，平均分只有1.94分，得分率很低，错误的原因主要是大部分学生不能将lnx前的函数式“剥离”出来，而是采取直接求导的算法，因为涉及到二次求导，运算难度增大导致出错.但是，若采用先“剥离”的方法，则只要一次求导，运算难度减小，简单讨论下就能完美地得到答案.笔者查阅了2016年的各市期末试卷，发现有很多类似的问题，故把“f(x)lnx”问题的一类简化算法写出来，与读者一起分享.首先我们通过例1来对比两种算法的优劣.

例1 已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a(其中a为正实数，且为常数).

1)若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

(2017年江苏省苏锡常镇一模数学试题第19题)

解 1) 0

2)方法1 ①当x=1时，0≥0，从而a∈R.

②当x>1时，f(x)≥0恒成立.因为

设p(x)=xlnx+(1-a)x+1，则

p′(x)=lnx+2-a,

当01，所以p′(x)>0,从而p(x)在(1,+∞)上单调递增，于是

p(x)>p(1)=2-a>0，

进而

f′(x)>0,

即f(x)在(1,+∞)上单调递增，故f(x)>f(1)=0,满足题意.当a>2时，令p′(x)=0，则

x=ea-2>1.

当x∈(1,ea-2)时，p′(x)<0，p(x)单调递减，从而

p(x)

则

因此当x∈(1,ea-2)时，f(x)单调递减，则当x∈(1,ea-2)时，f(x)

③当0

设p(x)=xlnx+(1-a)x+1，则

p′(x)=lnx+2-a.

当a>2时，因为0

p(e-a)=e-a(1-2a)+1，

设h(a)=e-a(1-2a)+1,则h′(a)=e-a(2a-3)>0,所以h(a)在(2，+∞)上单调递增，即

亦即p(e-a)>0.函数p(x)在(e-a,1)上连续，由零点存在性定理，p(x)在(e-a,1)上存在零点.又p(x)在(e-a,1)上单调递减，于是p(x)在(e-a,1)上存在唯一的零点，记为x0.因此，当x∈(x0,1)时，p(x)<0，f′(x)<0,即f(x)在(x0,1)上单调递减.因为f(1)=0,所以f(x0)>0,矛盾.

当0

综上所述，0

方法2 ①当x=1时，0≥0，从而a∈R.

综上所述，对于工程造价信息化建设工作的落实，其在当前确实表现出了较强的发展作用价值，相对于传统工程造价管理模式具备多方面优势，这也就需要加大推广力度，详细分析探究现阶段存在的各个方面问题，然后采取有效措施予以解决。

设h(x)=x2+(2-2a)x+1,其中x>1,当Δ≤0时，00恒成立.

当Δ>0时，a>2.令h(x)=0,得

因为h(1)=4-2a<0,所以当x∈(1,x2)时，h(x)<0,g′(x)<0,从而g(x)在(1,x2)上单调递减.又g(1)=0,得g(x2)<0,不合题意.

设h(x)=x2+(2-2a)x+1,其中00时，a>2.令h(x)=0,得

又h(1)=4-2a<0,当x∈(x1,1)时，h(x)<0,g′(x)<0,于是g(x)在(x1,1)上单调递减.又因为g(1)=0,所以g(x2)>0,不合题意.

综上：0

2 算法应用,提升素养

前苏联教育家维果斯基提出：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平：一种是已经达到的发展水平，另一种是儿童可能达到的发展水平,表现为“儿童还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下,在集体活动中，通过模仿，却能够完成这些任务”.这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”.从“最近发展区”设计算法，能加速学生数学运算素养的提高.

例2 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=λ(x2-1)(其中λ为常数)．

2)若对任意x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．

(2016年江苏省镇江市期末试题第20题改编)

所以h(x)在[1,+∞)上单调递减.又因为h(1)=0,所以h(x)≤h(1)=0.

2)由题意，当x≥1时，不等式xlnx-λ(x2-1)≤0恒成立.不等式两边同除x，得

①当λ≤0时，由x≥1,得h′(x)≥0,因为h(x)在[1,+∞)上单调递增,又h(1)=0,得h(x)≥0,舍去.

h′(x)≤0,

得h(x)在[1,+∞)上单调递减.又因为h(1)=0,所以h(x)≤0,满足题意.

因为m(1)=1-2λ>0,所以当x∈(1,x2)时，m(x)≥0,h′(x)≥0,从而h(x)在(1,x2)上单调递增.又因为h(1)=0,所以h(x2)>0,矛盾.

(2016年江苏省常州市数学期末试题第19题)

解 由题意，当x≥1时，x2lnx-x+1-t(x-1)2≥0恒成立.两边同时除以x2,得

g′(x)≥0,

因为g(1)=0,所以g(x)≥0.

学生的数学运算能力急需改善，具体表现在对运算方向的探索和运算程序的设计上存在不足.为此，教师在平时的教学中对一些运算复杂的问题，要能带领学生全方位地选择算法，择优设计运算程序，从而将提高学生的数学运算核心素养落到实处.以上是笔者对“f(x)·lnx”这类问题的一类简化算法的研究，先拨开“f(x)”化简原式，然后借助简单的分类讨论，并且坚持算下去，最终圆满解决问题.

著名教育家波利亚曾说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分地探讨与钻研，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”

[1] 陈玉娟．例谈高中数学核心素养的培养[J]．数学通报，2016(8)：34-36．

2017-06-20

王 强(1989-)，男，江苏泰州人，中学二级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-13-03