《两位数乘两位数》磨课过程与思考

许镝

【摘要】本文从《两位数乘两位数》的磨课过程展开论述，通过设计有思维含量的数学活动激活学生的思维动机，让学生在潜移默化中、在实践操作中感悟思维的灵动，培养学生归纳、推理、概括的能力。

【关键词】《两位数乘两位数》小学数学 磨课体会

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）07A-0062-03

笔者试教人教版数学三年级下册《两位数乘两位数》一课时，大致的框架就是在情境引导下，用点子图探究14×12的算理，然后逐步呈现竖式的计算过程，进一步沟通算理与算法之间的联系。

具体来说就是开课先通过口算练习，回顾一位数乘法的计算方法，激活学生原有的认知结构，为学习新知识，并把新知识转化为用旧知识解决问题提供基础。然后利用点子图这种沟通算理和算法的桥梁，把直观的算理转化得到抽象的算法，在这个过程中让学生自主探究两位数乘两位数的笔算方法，明晰竖式计算中每一步表示的意义以及积的位置，帮助学生沟通算理与算法的联系，感悟“转化”的数学思想方法，以及解决问题算法多样化。

《两位数乘两位数》一课的重点——解决算理其实就是三个核心问题：计算14×12，需要几步计算；每一步分别怎么算；用十位上的数去乘，积的末尾为什么要对齐十位？解决这些问题，实际就是在运用“先分后合”“拆分求积”“转化”的方法，把分步计算和综合竖式计算结合起来。依托具体的情境，让学生结合口算和点子图归纳竖式计算的算法。

教研员斯老师看过这节课的录像后，马上指出了不少問题：首先，点子图的使用没有尊重学生的知识起始点。一上课就发给学生点子图，这是强烈暗示学生，这节课就是要使用点子图来解决问题。然而现实情况是，有些学生是有基础的，他们并不需要借助点子图去解决问题。教师要尊重学生的现实起点，并根据现实起点进行教学。其次，要把点子图作为学生学习新知识的脚手架，当学生计算有困难时，就作为计算的工具使用。当学生需要掌握算法时，作为沟通算理与算法的工具为学生提供几何直观。这节课没有根据学生的学习需求，体现不出教学对象的分层。第三，沟通点子图与竖式的联系不够细致，应该让学生通过多种感官去感受算理与算法之间的联系，这样学生才能深刻地理解竖式的计算步骤的含义。

针对这些问题，笔者对教案进行了修改，然后开始试教。口算、情境的引出到列式计算14×12一切都很顺利，但在探究14×12的算理时，学习有困难的学生求助老师拿到了点子图，然而他们却不知道如何使用这个工具。在之前的授课中，我们通过播放课件演示，引导他们使用点子图去计算。此时没有了课件演示和老师的引导，这些学生就无法把点子图和具体的情境结合起来，这个点子图作为学习的工具就无法体现出实际的作用。无奈之下，只能一个一个地引导学生，通过点拨，学生很快明白用意。

学生经过自主探究得出了3种情况：第一种用点子图把12套书分成了10套和2套两部分，分别计算10套本数和2套本数，再合起来。第二种用点子图把12套书分成了2个6套，计算6套本数之后再算12套。第三种用口算算式表示12÷2=6，6×14=84，84+84=168。教学在反复沟通了口算和点子图之间的联系后，笔者让学生给算法做优化选择并感受算法多样化，但总体感受不深。因为这里能呈现的样本就是只有把12套书分成10套和2套及分成6套和6套这2种。在试教过程中让笔者意想不到的是，18个学生中没有一个会用竖式来计算，这真正体现了学生朴质的知识基础。如果没有超前学习，竖式这种高度总结概括出来的方法，光凭短暂的思考、探究是无法创造出来的。出于尊重学生的知识起点，笔者布置学生通过看书自学竖式的格式及算法。自学之后，引导学生把口算算式、点子图和竖式的每一步沟通联系起来，给学生建立了算理与算法的直观模型，完成了此次试教。

评课时，斯老师给出建议：下发给学生的点子图，要有适当的引导语，引导学生快速地用图解决计算题。展示计算方法的时候，要对图做出适当的解释。因为没有使用点子图的学生，对这个工具是陌生的，教师应适当地引导，让全班学生了解点子图的用法，从而进一步加深学生对算理的理解。最后，斯老师还建议去掉介绍数学文化这个环节，因为刚学习如何笔算两位数乘两位数，在计算技能还没有成熟时播放一个带有其他计算方法的视频，会干扰学生刚刚形成的知识模型，延长计算技能形成的时间。明白了这两点，下次改课就有了新的方向。

第二次试教，笔者把口算引入的环节去掉了，因为学生对两位数乘整十数和两位数乘一位数的计算方法是清楚的。所以直接出示情境，让学生根据情境信息提出问题。然后直接把问题抛给学生：一共多少本书？怎么解决这个问题呢？让有想法、有办法的学生直接在白纸上尝试写下来，而学习有困难的学生则可以举手，老师提供学习建议纸（点子图）。这样放手之后，学生果然出现了多种情况。比如口算的14×10=140，14×2=28，140+28=168；点子图的12×7=84，84+84=168；14×6=84，84+84=168；14×7=98，14×5=70，70+98=168；还有的学生运用竖式计算。

展示交流阶段，按从口算到点子图的呈现顺序，帮助学生厘清点子图与口算之间的联系，然后呈现算法多样化，最后呈现运用竖式的方法。把点子图与竖式、口算三者之间的联系进行梳理，随后展开竖式算法的教学，之后播放微课，再次加深学生对竖式算法与算理之间的联系。

课后，听课老师进行了点评：在学生自主探究后，可以平行呈现口算、点子图和竖式计算，让学生自主发现他们之间的联系，同时沟通三者之间的联系。教学完竖式算法之后，再呈现其他算法，这样可以让学生明白这节课的主要学习内容，了解解决问题方法的多样化。同时让学生感受“转化迁移”的思想方法，把新知识转化成旧知识来解决，还可以迁移到新知识中去运用。

笔者把老师的建议进行了梳理整合。在最后一次教学上，笔者是这样教学的：创设情境之后，让学生获取信息，再提出问题列式14×12，为了解决14×12，学生要选择适合自己的学习方式进行探究。笔者给学生提供两张学习卡研究解决问题，一张挑战卡（直接发在学生手上），另一张探秘卡（放在信封中）。学生可以选择用挑战卡，借助自己已有知识进行探究，也就是用口算或竖式完成；学生也可以用探秘卡，借助探秘卡点子图上的提示和建议，进行圈画点子图。endprint

学生出现了很多种算法，比如：

于是笔者先呈现口算的方式，让学生介绍思路之后，再让用点子图思考的学生去联系口算的算法，这样就让口算的思路获得了一个形象具体的算理支撑。紧接着呈现了其他算法和与之配套的点子图，引导学生发现，这些方法都是运用了先分后合和转化的数学思想，把没有学过的知识转化为学过的知识去计算；归纳思想方法之后，告诉学生还有用竖式解决的方法，并让其他没有用竖式计算的学生参考口算、点子图的思路尝试用竖式来计算14×12。这样，不少学生在点子图、口算的思路启发下，也能列出竖式。紧接着，笔者让学生介绍竖式的步骤，并让另外两个学生配合，对点子图、口算和竖式这三位一体进行了沟通联系，把两式一图一意义以及竖式的算法彻底地在学生心中生根发芽。为了巩固竖式算法与算理，笔者播放了微课视频，再一次加深了学生对算法与算理的理解。由此进入了课堂练习巩固环节：竖式练习23×13、11×22，学生完成作业的正确率比较高。接着出示找错题（如下图），学生一下就能找到错误的原因。

下一个环节“你知道吗”，让学生进一步明白竖式的每一个步骤是怎样来的、为什么这样算，为下一节课总结算法做了详细的铺垫。

最后一个环节更是这节课的亮点，将两位数乘一位数以及两位数乘两位数进行对比，让学生自行发现算法的联系与区别，同时迁移到“三位数乘三位数的算法（不进位）”上。通过这样的教学过程让学生明白，可以把难解决的问题通过转化变成容易解决的问题。

通过这几次磨课，笔者发现中低年级的计算教学应当借助具体的问题情境引入。因为学生对于算理的理解和算法的掌握，主要是在学生熟悉的环境中完成，将探索计算和解决实际问题结合在一起，就有利于学生体会运算是现实生活中存在的，是有价值的。也为学生理解算理、掌握算法提供了思维的支撑与路径：12套书不会算，就借助实际意义去思考，能不能把12套书分解为2部分、3部分去计算？

其次教师要尊重学生已有的知识起点和教材的逻辑起点，开展有效分层教学。在教学时，笔者充分利用挑战卡和探秘卡，放手让学生自主探究计算方法，在汇报时，让三个学生上台交流，一个说笔算步骤，一个说分步口算，一个说点子图算理，三个学生的合作就是将三个人的三种算法联系在了一起，做到了“三合一”，即三人合一、三法合一，将“两式一图一意义”算理算法融合在了一起。让学生充分感受兩位数乘两位数计算方法多样性的背后是有共通性的：都是“先分后合”，借助乘法的意义，体现了笔算的基本思想。之后让学生去思考竖式为什么是把12分成10和2去计算，从而进一步帮助学生优化算法。在这个探索的过程中，教师要充分相信学生，给予学生更多的时间、空间去探索，以学生为中心，把教学的主动权交给他们，让他们自行沟通介绍算理与算法，正确地处理算法及算理的关系，这样既兼顾了学生理解算理又让他们学会了算法，体现了学生的主体地位。

最后，在进行计算教学时，教师既要关注学生计算技能的形成，更要关注数学思维的培养和发展。在学生众多差异性的算法中进行类比、转化、迁移，让学生发现可以把新知识转化成旧知识（例如本节课笔者就把14×12转化成了14乘一位数这样的旧知识）。当学习新知识之后，又帮助学生把知识进行迁移拓展：“如14×12在笔算时，我们要乘两次，如果是三位数乘三位数，需要乘几次呢？”学生很快就知道要乘三次，从而达到了思维训练的目的。

总之，小学数学课堂教学要让学生的思维看得见，让学生的学习更加深入，让学生遇到的问题得到有效的解决，教师就要设计有思维含量的数学活动，激活学生的思维动机，让学生在潜移默化以及实践操作中感悟到思维的灵动，让学生经历思维的发展过程。在遵循学生认知规律的基础上，将操作和思维有机结合，从而获得方法并注重多种方法的沟通；在方法概括优化的提升中，培养学生的归纳、推理、概括的能力。

（责编 林 剑）endprint