射线、线段动点问题之推广

雷晓宏

在日常生活中，经常会遇到去车站购票、毕业前夕学生们互赠照片等实际问题.在这里如果把火车的始发站看成一个定点，而把到达站看成一个动点，那么就可以把这类实际问题转化为数学中的求线段总条数的问题了.

学生们学习了中华人民共和国教育部2012年审定通过的、人民教育出版社出版发行的义务教育教科书《数学》七年级上册的“第四章 几何图形初步中”的“§4.2 直线、射线、线段”之后，对于如何求射线和线段的总条数是中华人民共和国教育部制定的、北京师范大学出版社出版发行的义务教育《数学课程标准（2011年版）》中要求每名学生必须掌握的知识点，下面就这一方面的问题做如下探讨.

引例 一条直线上有n个点，试问可以得到多少条线段？

分析 对于这类问题，要经历从特殊到一般的研究过程（所用的是“从特殊到一般”的数学思想），先画出几何图形，再利用“经过两点有且只有一条直线”寻找出规律即可.

解 如图1所示，直线L上有A，B两点，有一条线段AB.

如图2所示，直线L上有A，B，C三点，以A为左端点的线段有AB，AC；以B为左端点的线段有BC，所以在图2中共有3条线段（1+2=3），即线段AB，AC和BC.

如图3所示，直线L上共有A，B，C，D四个点，以A为左端点的线段有AB，AC，AD；以B为左端点的线段有BC，BD；以C为左端点的线段有CD，所以在图3中共有6条线段（1+2+3=6），即线段AB，AC，AD，BC，BD和CD.

【问题1】如图4所示，从A地到B地的铁路上要途经四个站，那么列车在A，B兩段之间需要多少种票价？需要准备多少种不同的车票？

【问题2】毕业联欢会上，同学们互赠照片以作留念.李强同学所在的班上有30名同学，试问李强同学所在班的同学至少应该准备多少张照片？

解 在这里如果把某一个同学看成定点，把其他同学看成动点的话，那么这个问题就是求线段总条数的问题，但是由于照片是互赠的，所以至少应该准备照片30×（30-1）=870张.

通过以上例子可以看出，现实生活与数学是密不可分的，生活中的许多实际问题都可以转化为数学中的动点问题来解.endprint