数形结合与信息技术在不等式中的应用与高考试题的联系

周鹏

高考试题对数形结合的考查主要涉及：

1.考查集合及其运算问题（韦恩图与数轴）；

2.考查运用函数图像解决有关问题（如，方程、式、函数的有关性质等）；

3.考查运用向量解决有关问题；

4.考查三角函数的图像及其应用；

5.解析几何、立体几何中的数形结合；

6.对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

7.对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用.

下面就以下两个典型的题目来研究数形结合思想在高考解题中的作用.

分析 （1）以数的角度解决遇到的困难，从函数零点的概念出发，一般会考虑闭区间[α，β]的两端点函数值的乘积f（α）·f（β）是否小于0，然而在验证时存在一定的困难.

（2）向形的角度转化，我们从数形结合的角度观察f（x）=4sin（2x+1）-x在闭区间[α，β]上是否有零点，等价于函数f（x）=4sin（2x+1）-x的图像与x轴是否有交点，等价于两函数y=4sin（2x+1）与y=x的图像是否有交点.

（4）从形的角度观察，易知两图像的交点关于原点对称（由于函数y=4sin2x与y=x均为奇函数）.

借助對称性可知原点左边如果有交点，则与其对称的原点右边一定有交点.因此，最先出现没有交点的闭区间一定在最左边，答案是A.

总之，从数形结合的角度“能力立意，考查数学方法与数学思想”距离我们并不遥远.在数形结合思想中，有“形”就意味着有“数”，“数”中蕴含着“形”，恰当地改变思考问题的角度，往往能够起到化抽象为直观、化直观为精确、化烦琐为简单的作用.数形结合为问题的解决提供了极强的方向信号.数形结合的高深之处在于构造一个完美的背景空间，使问题在轻松简单的背景环境中实现转化，是一种直观的且又是具有挑战性和成就感的精妙之法.endprint