定义在有限区间上的二阶常微分方程变号解的存在性

蒋玲芳

摘要：讨论了二阶常微分方程Drichlet边值问题-u''（t）=λf（u（t）），00，f∈C2（-r，r），f'≥0，f（0）<0，limu→rf（u）>0。证得当非线性项f满足lims→±rf（s）（±r-s）=∞时，存在λ*，使得当λ∈（0，λ*）时，该问题有两个含有m（m=1，2，…）个零点的变号解。

关键词：半正；变号解；二阶；有限区间

中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.24.091

1引言

近年来，许多作者用不同的方法（比如，临界点理论，锥上不动点理论，上下解方法，时间映像分析法等）讨论了二阶常微分方程边值问题

-u''（t）=λf（u（t）），0

正解和变号解的存在性，见文献。

特别地，1988年，A.Castro利用时间映像分析法考虑了问题（1）正解的存在性，其中f∈C2（R）。

1992年，Shvaji研究了问题（1）利用时间映像研究了变号解的存在性，其中f∈C2（R）。

注：本文将考虑定义在有限区间的情形：f∈C2（-r，r）

2时间映像分析法

类似文献的方法，我们可以得到：

（1）若问题（1）有2n个零点，且u'（0）<0，则问题（1）对应的时间映像为

G2n（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+（n+1）∫0q

duF（q）-F（u）（2）

（2）若问题（1）有2n-2个零点，且u'（0）>0，则问题（1）对应的时间映像为

G2n-2（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+（n-1）∫0q

duF（q）-F（u） （3）

（3）若问题（1）有2n-1个零点，且u'（0）>0或u'（0）<0，则问题（1）对应的时间映像为

G2n-1（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+n∫0q

duF（q）-F（u）（4）

3主要结论和证明

设||u||=supt∈[0，1]u（t），f∈C2（-r，r），f'≥0，f（0）<0，limu→rf（u）>0，且θ>0，β>0满足f（β）=0，F（θ）=0，其中，F（s）=∫s0f（t）dt。进一步，设f''（s）<0，s<0；

f''（s）>0，s>0。lims→±rf（s）（±r-s）=+∞，lims→-r（f（s）-sf'（s））>0。

定理1設λn=n2（2∫θ0ds-F（s）），n∈Ν。则对于任意的λ∈（0，λn），问题（1）至少存在一个含有2n个零点且满足u'（0）<0的变号解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得当λ∈（0，λ*）时，解是唯一的。

证明：根据时间映像分析法，我们只需证

（A）limp→rG2n（p）=0，（B）limp→θG2n（p）=λn。

首先，我们证明（A）：

根据（2）式，G2n（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+

（n+1）∫0qduF（q）-F（u），先考虑 n∫p0duF（p）-F（u）

=npF（p）∫10dv1-F（pv）F（p）（5）

设L（v）=F（pv）F（p），则L（0）=0，L（1）=1，L'（v）=pf（pv）F（p），L''（v）=p2f'（pv）F（p）。

又因为f（s）<0，s∈（0，β），f（s）>0，s∈（β，r），f'（s）≥0，故对于p∈（θ，r），有

L（v）≤v，v∈[0，1].根据（4）式得：

n∫p0duF（p）-F（u）≤npF（p）∫10dv1-v=2npF（p）（6）

又因为lims→rf（s）（r-s）=∞，存在M使得f（s）（r-s）>M，s∈（0，r），这样

limp→rF（p）=limp→r∫p0Mr-tdt=limp→rM[-ln（r-p）+lnr]=∞，故limp→rp2F（p）=0。

其次，考虑

（n+1）∫0qduF（q）-F（u）=-（n+1）qF（q）∫10dv1-F（qv）F（q）（7）

设K（v）=F（qv）F（q），则K（0）=0，K（1）=1，K'（v）=qf（qv）F（q），K''（v）=q2f'（qv）F（q）。

又因为f（s）<0，s∈（-r，0），f'（s）>0，s∈（-r，0），故对于q∈（-r，0），有

K（v）≤v，v∈[0，1]，故

（n+1）∫oqduF（q）-F（u）≤-nqF（q）∫10dv1-v=-2（n+1）qF（q）（8）

又因为lims→-rf（s）（-r-s）=∞，存在M1使得f（s）（-r-s）>M1，s∈（-r，0），这样

limq→-rF（q）≥limq→-r∫0qM1r+tdt=limq→-rM1[-ln（r+q）+lnr]=∞，故limq→-rq2F（q）=0，根据（5）和（7）得limp→rG2n（p）=0。

证明（B）： 当p→θ时q→0，且F（θ）=0，有

limp→θG2n（p）=2n∫θ0du-F（u）=λn（9）

这样我们证得（A）和（B），下面证存在λ*，由于

G'2n（p）∶=2n∫10H（p）-H（pv）（F（p）-F（pv））32dv-（n+

1）dpdq∫10H（q）-H（qv）（F（q）-F（qv））32dv

首先，考慮n∫10H（p）-H（pv）（F（p）-F（pv））32dv，其中，H（s）=F（s）-s2f（s），

H（s）=F（s）-s2f（s），H'（s）=12（f（s）-sf'（s）），H''（s）=-s2f''（s），又

f（0）<0，f''（s）>0，0

其次，考虑-（n+1）dpdq∫10H（q）-H（qv）（F（q）-F（qv））32dv，其中，

H（s）=F（s）-s2f（s），-dqdp>0，又f（0）<0，f''（s）<0，-r

lims→-r（f（s）-sf'（s））>0，因此，G'2n（p）<0

推论2类似定理1，我们可以得到类似的结论：

（1）问题（1）至少存在一个含有2n-1个零点且满足u'（0）<0的变号解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得当λ∈（0，λ*）时，解是唯一的。

（2）问题（1）至少存在一个含有2n-2个零点且满足u'（0）>0的变号解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得当λ∈（0，λ*）时，解是唯一的。

（3）问题（1）至少存在一个含有2n-1个零点且满足u'（0）>0的变号解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得当λ∈（0，λ*）时，解是唯一的。

证明：类似问题（1）的证明，可以得到结论。

参考文献

[1]A. Castro， R. Shivaji， Non-negative solutions for a class of non-positone problems[J]. Proc. Roy. Soc. Edin，1988（108A）： 291302.

[2]V. Anuradha， R. Shivaji， Existence of infinity many non-trivial bifurcation points[J]. Results in Mathematics， 1992，（22）： 641650.

[3]K. J. Brown， M. A. Tbrahim， R. Shivaji， S-shaped bifurcation curves[J]. Nonlinear Anal， 1981，（5）：475486.

[4]S. Tersian ， J. Chaparova， Periodic and homoclinic solutions of extended Fisher Kolmogorov equations[J]. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 2000，（331）： 287292.

[5]R. Schaaf， Global solution branches of two point boundary value problems[J]. Springer Lecture Notes in Mathematics，1990，（1458）.