小学生数学推理能力的培养

推理作为理解抽象概念的工具，是数学的基础，也是数学的基本思维方式。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）将推理能力作为十大核心概念之一，进一步确立了推理能力在数学教学中的重要地位，同时指出：“推理能力一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题过程中，两种推理的功能不同，相辅相成。”[1]然而，过去的小学数学教学大纲片面关注数学的严谨性，过于重视学生逻辑推理能力的培养，从而忽略了合情推理能力的培养。虽然2001年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》已经开始认识到合情推理的重要作用，但由于过度矫正又导致演绎推理能力有所淡化。由于演绎推理与合情推理的方式大相径庭，因此一线教师需要深刻理解它们的内涵与差别，以及如何在教学实践中进行有效培养。

一、如何理解小学阶段的数学推理

由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式叫做推理。推理的种类有很多，在数学中主要有演绎（由一般到个别的推理）、归纳（由个别到一般的推理）、类比（由个别到个别的推理）三种。[2]其中，归纳和类比统称为合情推理，主要是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。而演绎推理则是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的过程。研读《课程标准》可知，小学阶段数学推理主要包括归纳、类比等以经验和直觉为依据的合情推理，以及以确定法则为依据的演绎推理。[3]

（一）演绎推理

三段论作为演绎推理的一般模式，其一般的推理形式为：所有的M都是N；P是M；所以，P是N。在小学阶段，演绎推理一般都是基于已学习的既定法则进行简单的推理。例如，2的倍数都是偶数，4的倍数都是2的倍数，所以4的倍数都是偶数。

演绎推理作为数学论证的有力工具，其能力主要通过演绎推理活动得以展现并获得相应的发展。由于小学生年龄小、认知能力有限，因此对演绎推理能力的要求相应降低。从《课程标准》可以看出，第一学段要求学生能够运用简单概念对直接感知的事实进行简单推理，第二学段要求学生能够用言语表述事实进行演绎推理。其实，在很多结论的推导中也会用到省略形式的演绎推理，如平行四边形面积的推导过程，就是将平行四边进行剪切和平移得出一个长方形，再根据已经推导出的长方形面积公式而推导出来的。

（二）归纳推理

归纳推理作为合情推理的一种形式，是从特殊到一般的推理。归纳法作为此种推理形式的主要方法，包括了实质为演绎推理的完全归纳法以及带有或然性的不完全归纳法。尽管不完全归纳法的结论并不具有必然性，但却在科学活动中有着极其重要的作用。通过观察、实践和推广，猜测出一般性结论，可以帮助人们不断地发现问题、提出问题，丰富和拓展研究内容。[4]因此，归纳推理可以帮助学生发现问题和提出问题，并进行大胆地猜想，是数学发现的重要方法，对于学生的创造力和想象力的发展有着积极的促进作用。

在小学阶段，由于学生的形式逻辑思维发展尚不成熟，因此仅是对不完全归纳法提出了要求。虽然《课程标准》并未明确提出，但一些具体学习内容却蕴含了培养学生不完全归纳推理的教学目标。例如，第二学段出现的对加法交换律（[a+b=b+a]）等运算律的探索与了解，若要严格证明该性质，则需要利用皮亚诺公理进行证明。小学四年级学生不可能理解这一高度形式化的公理，因而教师往往需要通过一些具体的运算帮助学生理解，如2+3=3+2，3+5=5+3，通过引导学生观察几个特殊的例子，逐步归纳得出“两个加数相加，交换加数的位置，和不变”这一规律，而这正是不完全归纳的过程。

（三）类比推理

类比推理是根据两个或两类不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有類同之处，并作出某种判断的推理方法。[5]与归纳法相同，利用类比法得到的结论可能为真，也可能为假，需要进一步证明。

类比推理在小学数学的应用比较广泛。例如：在数与代数领域，有整数、小数、分数运算的类比；将整数的运算法则、顺序和定律类比应用到小数和分数的运算中；在图形与几何领域，有长方形和正方形的周长类比应用到平行四边形的周长。

二、小学阶段数学推理能力的培养

推理是数学学习的基本方式，没有推理，数学只是静态的知识，不可能得到发展。如何培养小学生的数学推理能力，教师需要把握推理的内涵，利用数学学习领域这一培养的载体，在厘清目标间的联系以及学生间的差异后，将其渗透到数学教学过程中。

（一）数学推理的培养要基于具体的数学内容

“无内容的推理只是空洞的推理、也是没有任何意义的。”[6]因而，在培养学生的推理能力时，教师需要依托数学学习领域这一载体，结合具体的教学内容来进行。

1.归纳推理能力的培养

归纳法在小学数学探究学习中应用较为广泛，特别是或然性的不完全归纳，一些法则、规律、性质的学习往往都是通过基于几个特殊的例子对其进行观察、归纳并总结。梳理小学数学教材可以发现，归纳推理主要包括以下3种形式。

（1）公式的归纳

数学公式作为数学知识的重要表现载体，从生成过程来看，与数学知识是一致的，并且对其推导过程的理解影响着学生对知识的理解。在小学阶段，对于图形的周长公式、面积公式、体积公式，以及正比例、反比例和百分数等内容，在教材中均通过探索交流归纳得出。

例如，探索长方形的面积公式，教师通过引导学生观察长方形中密铺着的小正方形，初步形成猜想：长方形的面积为长乘以宽，进一步选取几个长方形进行密铺验证，从而得到长方形的面积公式。可见，这一系列探索过程均是训练学生归纳推理的有效资源。因而，在教学相关内容时，教师需要在研读教材的基础上，设计相关的探索活动，引导学生在观察、实验的基础上学会分析和比较，有条理地进行思考。这不仅有助于学生归纳推理能力的形成，还有助于学生在归纳思考过程中获得对数学对象属性间关系的认识。endprint

（2）法则的归纳

由于数学法则常常反映出数学对象本质的联系与趋势，在内容上包括具体的程序操作，因此是问题解决过程中需要频繁使用的重要工具，也是小学阶段数学学习的重点内容之一。教材中的整数、小数、分数以及百分数的加减乘除笔算法则，都是教师通过引导学生对几个例子的观察，在理解算理的基础上组织学生在探索、交流中获得。例如，学习“三位数除以一位数的法则”，教师可以让学生在掌握除法口诀、口算乘法、笔算减法的基础上，通过列竖式对其进行探索和归纳。

法则作为一种程序性知识，需要学生在问题得到解决后熟练掌握，但由于数学中的法则比较多，只靠死记硬背肯定不行，因而在教学中教师需要注重法则的探寻教学，通过提供具体的问题让学生进行分析与比较，在实际操作中归纳概括出具有规律性的结论。这一过程不仅能够训练学生的归纳推理能力，而且通过由具体到一般的推理过程，也有助于学生理解和记忆数学概念。

（3）规律的归纳

探索规律是小学数学中的主要学习内容，根据《课程标准》中所给的示例可以看出，这是一个“通过对个别、具体对象及其关系的观察和比较，找到能够制约这些对象及其关系的确定性因素，进而通过归纳和解释确定具有普遍性的规律”[7]的过程。可见，对于规律的探寻活动也是归纳推理的重要途径。在小学数学中主要有对算式、数列、图形规律的探寻。因此，在教学时，教师需要基于此平台，“引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜想某些结论，发展合情推理能力。”[8]小学生的知识和能力有限，对规律进行严格的证明相对困难，因此，一般通过具体的例子进行验证。例如，在学习“2，3，5整除特征”时，教师可以利用学生对2，3，5倍数认识的已有经验，引导学生先对100以内的数进行探索，再分别归纳得出2，3，5倍数的特征，再进一步用100以外的数进行验证。

2.类比推理能力的培养

与归纳推理类似，小学阶段的一些数学概念、性质、法则等，都可以通过类比得出。

（1）概念、性质、法则的类比

小学数学中有很多概念比较抽象，如果严格定义，学生理解起来较为困难，甚至无法理解，再加上一些概念在其内涵上具有一定的类似性或同一性，因此，很多数学概念都可以利用类比法进行描述和定义。比如，圆的周长与面积可以通过与长方形的相关内容进行类比。再如，商不变性质、小数和分数的性质、比的性质均存在密切的关系，学生也可以通过类比的方法来理解和掌握。

（2）立体与平面的类比

体会立体图形与平面图形二者的联系是小学阶段空间与图形领域的教学目标之一。学生通过认识平面图形与立体图形，体会二维空间与三维空间的转化。因此，在学生学习了平面图形后，教师可以将一些概念和性质类比到认识立体图形中去。

例如，面积是求一个平面图形所占的平面大小，相类似的，体积则可以理解为一个立体图形所占的空间大小。从这个角度来看，面积公式和体积公式的推导过程和推导方法也具有相类似的地方。

基于上述分析可知，部分数学概念、性质、法则等内容的学习能够为培养学生的类比推理能力提供契机。为了更好地在教学中利用这一契机发展学生的类比推理能力，教师对数学中的概念、性质、法则等内容要有深入的理解，在梳理相关内容的基础上，利用类比的正向迁移特性，在设计教学时以相似部分作为基点，通过复习回顾、设计“隐藏”联系的数学问题，帮助学生在理解已有内容的基础上，经历观察比较—寻找相似点—建立联系—形成猜想—进行验证的过程，基于所找到的两个对象之间所存在的相似的或相同的形式或性质作出类比。这一过程不仅有助于学生在数学活动中掌握类比推理的一般方法与经验，还可以帮助他们对已有知识进行拓展，形成系统的知识体系。由于類比方法是一种非逻辑思维方法，因此推理所得到的结论具有一定的或然性。在教学过程中，教师还要培养学生进行验证或说理的意识，简单解释类比的过程和依据，引导学生明确类比得出的结论并不一定正确。

3.演绎推理能力的培养

虽然演绎推理是解决数学问题的主要方法，但是考虑到小学生的年龄与认知特点，在小学阶段培养学生的演绎推理能力，更多的还是要将其融入合情推理以及日常数学教学过程中。

《课程标准》在对演绎推理进行论述时指出：“通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。”[9]可见，小学阶段对于演绎推理的学习更多是希望学生在发展合情推理的基础上认识并感受到演绎推理的存在和必要性，通过解决具体的数学问题体会两种推理各自的优点与不足，从而进一步认识到两种推理相互依存的关系。

例如，比较[25]与[2+25+2]，[38]与[3+48+4]，[710]与[7+710+7]这3组分数的大小会发现，在每一组分数中，把分数的分子和分母同时加上一个大于0的数，这个分数就会变大，由此归纳得出：分数的分子和分母同时加上一个大于0的数，分数值一定变大。你认为这个结论正确吗？

学生通过对3组分数进行验算会发现，这个结论是适用的，但仅通过3个例子就得出这个结论，缺乏一定的合理性。这也是归纳法与合情推理的弊端。因而，在进行归纳推理的教学中，教师还要引导学生认识到其不足之处。因此，当学生有了猜想后，教师不妨继续提出问题：“这个结论是否存在问题，如果有，你能说说理由吗？”同时启发学生进一步思考并跳出已有的实例，寻找一个反例进行验证。比如，分数[32]，当其分子和分母分别加上1后，其结果为[3+12+1]=[43=86<96=32]，这说明原结论存在一定的问题。通过这个案例，学生不仅能够在验算、观察等活动中发展归纳推理能力，还可以在思考结论是否合理的过程中明确所归纳的结论并不一定正确。当然，在这个过程中，教师需要及时进行点拨，让学生明确要获知猜想或结论是否正确仅靠归纳、类比是不够的，还要对其进行证明，从而意识到演绎推理的必要性。endprint

（二）推理能力的培养应融入日常教学过程

培养学生的推理能力并非一日之功，需要长期的积累。正如《课程标准》所指出的：“推理能力的发展应当贯穿整个数学学习过程中。”[10]因而，教师应将推理能力的培养作为重要的教学目标，并将其渗透到日常的课堂教学之中。

知识与能力相互促进。学生具有丰富的知识可以提升能力，反过来，能力的提高也能够帮助学生更好更快地学习新知识。因此，教师可以将学生能力的培养融入日常教学中，并巧妙地利用学习新知识的契机提高学生的数学能力。

例如，在教学“三角形和梯形面积公式”时，教师可以启发学生将其与平行四边形面积公式的推导进行类比。在这个过程中，学生不仅学到了新知，而且也提高了类比推理的能力。又如，线、面、体的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大有小，用体积单位来计量。点动成线，线动成面，面动成体。通过类比，学生不仅能够掌握线、面、体的知识，而且在进行类比的过程中可以更好地把握三者之间的内在联系。

为了更好地将推理能力的培养融入教学中，教师需要深入挖掘教材内容，发现更多的培养学生推理能力的素材与载体。

以“分数的初步认识”为例，教材先是通过把一个物体（如月饼）、一个图形平均分成几份表示其中的一份，引导学生初步归纳得出分子为1的分数；接着根据表示其中的几份进一步归纳得出分子是几的分数；最后根据把多个物体平均分成几份，表示其中的一份或两份即为分数。通过三个层次的学习，教师引导学生逐步归纳总结，让学生掌握分数的本质。当然，这样的素材也存在于习题中。

四年级上册“平行线”这一内容就有这样的练习题：在下图中，[a]//[b]，量一量∠1和∠2的度数，你能发现什么？

虽然小学阶段没有学习平行线同位角性质的知识，但是教师可以在教学时组织学生对这两个角进行测量，通过观察测量结果发现其中的规律。在这个过程中，教师不能局限于问题本身，而是要鼓励学生对测量结果和观察结果进行分析，发现其位置关系并进一步归纳得出数量关系，在交流中学会表达自己的猜想。同时，为了更全面地培养学生的推理能力，教师还要在此基础上进一步提出问题“你的猜想是否合理”，启发学生进一步思考，促使学生结合观察位置的关系对其余对应的几组角进行测量，在验证其正确性的同时认识到演绎推理的作用。

（三）推理能力的培养需注意层次性和差异性

通过梳理《课程标准》中有关“数学推理”的教学目标可以发现，其对不同学段学生推理能力的教学目标要求是不同的，具有一定的层次性。

第一学段主要涉及以下3点：探索简单情境下的变化规律；能对事物进行简单的分类；逐步学会有根据有条理地思考问题。第二学段则囊括了下面3条：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势；能够进行有条理有根据的思考，能比较清楚地表达自己思考的问题及结果；知道通过归纳推理得出的结论存在或然性，培养验证或说理的意识，简单解释归纳推理的过程和依据。因此，在培养学生的推理能力时，教师需要注意教学目标的层次性，结合具体的教学内容循序渐进地开展教学。

《课程标准》对第一学段所提供的“教学实例10”进行说明时明确指出：“如果学生在观察上图或者发现规律存有困难，教师可以引导从简单的情形入手，比如，两个加数先限制在5以内。”[11]

教师在进行推理教学时，需要考虑学生已有的认知水平，在了解学生已有认知水平的基础上设计有层次性的开放性问题，鼓励学生积极参与学习活动，在思考问题与解决问题的过程中培养推理能力，让学生在能力范围内获得解决问题的成就感。

例如，教学了“圆柱体积计算公式”后，教师可以设计如下问题：下面4个图形的面积都是36m2。将这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？

对于大多数学生而言，若熟练掌握圆柱体的体积公式，则可以基于此公式以及题目所给出的条件，通过计算解决题目中的前面两个问题。由于第三个问题是开放性问题，学生需要结合前面两个问题所隐含的规律进行归纳与概括，因而难度较大。因此，这一问题对学生的演绎推理能力要求相对较高，教师不必要求所有的学生都给出完美的答案。对于能力较强的学生，教师可以先引导学生从一般公式入手，尝试转化公式：[V=πr2h=12r×2πrh=12r×Ch]（其中[C]是長方形的一条边长，[h]是另一条边长），认识到[Ch]实际上就是长方形的面积；同时基于此引导学生通过观察、动手操作，进一步归纳并发现问题解决的关键，即考查一个长方形卷成圆柱后的体积大小，在长方形面积不变的情况下，取决于底面积半径大小这一规律。

参考文献：

[1][8][9][10][11]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：6.50-51.51.50.78.

[2][3][4][5]李星云.小学数学专题研究[M].苏州：苏州大学出版社，2001：24.75-76.131.122.

[6]郭莲荣，苏畅.如何培养演绎推理能力[J].鞍山师范学院学报，2006（2）：95-97.

[7]郜舒竹.什么是“探索规律”[J].教学月刊（小学版），2013（11）：13-16.

（责编 欧孔群）endprint