论函数单调性在中学数学中的应用

2017-09-11郭玲余升璟

魅力中国 2017年35期

郭玲++余升璟

摘要：本文研究函数单调性在解决比较大小、求函数值域与最值、恒成立问题求参数、解不等式、证明不等式以及数列这六个方面的应用，本文主要通过有简单到复杂，对所构造函数研究其单调性，从而确定函数的值的范围来解决这六方面的应用，其中用到了分类讨论思想。文中例题大多选自近几年高考试题的压轴题或数学竞赛题，加进了作者的思想，对学习函数知识有很大的帮助。

关键词：函数单调性；比较大小；值域与最值；不等式；数列；参数

首先，从单调性知识本身来讲，我们对于函数单调性的学习共分为3个阶段：（1）在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图像的基础上对增减性有一个初步的感性认识；（2）在一步一步学习函数单调性的严格定义，在数和形两个方面理解单调性的概念；（3）在高二利用导数为工具研究函数的单调性。高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础。

其次，从函数角度来讲，函数的单调性是我们学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律。学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义3个阶段，即都从图像观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程。因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其他性质提供了方法依据。

最后，从学科角度来讲，函数的单调性是学习不等式、数列、导数等其他数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

一般地，设函数的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，，当 < 时，都有 < ，那么就说在这个区间上是增函数；如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，，当 < 时，都有 ﹥ ，那么就说f（x）在这个区间上是减函数。说明：设函数定义在区间I上且 I，则若函数在区间I上是单调增（减）函数，则（或）。若函数在区间I上是单调函数，则。若函数在区间I上是单调函数，则方程在区间I上至多有一个实数根。若函数和的单调性相同，则在它们公共的定义域内，函数亦与它们的单调性相同。

一、利用函数单调性比较大小

例：设 = +b +c对任意的实数t，都有（2+t）= （2-t），判断（1）、（2）、（4）的大小。

解：由（2+t）= （2-t）知函数的图像关于直线 =2对称，且在[2，+∞）上是增函数。

所以：（2）< （3）< （4）而：（1）= （2-1）= （2+1）= （3）

所以：（2）< （1）< （4）

例2 已知都是正数，并且a

解：构造函数 = ，

由b-a>0，知在（-b，+∞）上是增函数，于是 =1

在（-b，+∞）上也是增函数。由m>0及性质（1）得（m） > （0），故 >

前面两个例子都是比较简单的利用函数单调性来比较大小的式子，显而易见，我们可以根据函数单调性的性质来解决这类问题就简捷多了，若我们遇到以下类似的问题又该如何来解决呢？

例3 比较与的大小。

分析：显然这两个算式不可能用手算，甚至于一般的电子计算机在计算的时候也会溢出。我们可以将比较这两个算式转化为比较和（当 =1992）大小。