浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

张旭

摘 要：在初中阶段，我们会接触到一类重要的思想方法——数形结合思想，数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，通过“以数解形”可以使得抽象的数学问题具体化、形象化，也就是将抽象思维转变为形象思维，这有利于解决数学中的一些复杂问题，从而把握数学的本质。运用这一思想能解决初中数学中的一些问题，并且解法简洁，最终能有效的解决问题。下面简单的说一说数形结合思想在初中数学中的应用。

关键词：初中数学；数形结合；应用；数学问题；解题

数形结合思想，简单来说，数字与图形就像是数学中的两条腿，互相依靠，谁也离不开谁。要是从深层次理解数形结合思想，需要从“以数助形”和“以形助数”这两方面来体会，此外，在相关的函数问题中应用数形结合思想解决实际数学问题，会取得事半功倍的效果，本文从“以形助数”、“以数助形”、“函数中数形结合思想的运用”三个方面来探讨数形结合思想在初中数学中的相关应用。

一、以数助形

从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下体现：可以利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化，还可以利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。下面简单说一下利用距离公式来解决几何问题。

例1.在平面直角坐标系中，A（2，3），B（5，3），C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长。

这是人教版二次根式练习中的题，这一题经过转化后實质上就是求平面上两点之间的距离，而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可得。

这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式。利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]，则A，B两点之间的距离[d=（x1-x2）2+（y1-y2）2]。两点之间的距离公式对求解相关的距离问题是比较常用的“以数助形”的一种方法，能够利用熟练的利用这种思想能够使相关几何中距离问题的求解得到极大的简化。

二、以形助数

几何图形在数学的学习中通俗易懂，所以在说到“数形结合”思想时，我们更倾向于“以数助形”的解题方法，利用图像、图形来解决不易求得结果的代数问题。几何图形在代数问题中有以下几方面的应用：

1.利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

2.利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式。

例2.将一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系。

（1）根据你发现的规律填空：

[x2+（p+q）x+pq]=（____）×（____）

（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：

①[x2+7x+10]

②[y2-7y+12]

这一题实质上是在推导人教版八年级上册数学第15章选学部分关于[x2+（p+q）x+pq]型式子的因式分解。利用这个图形能比较方便的得出[x2+（p+q）x+pq]的分解结果为[（x+p）（x+q）]，进而可以得出此题第（2）问的求解：①[（x+2）（x+5）]，②[（y-3）（y-4）]。并且利用类似的数形结合的方法还可以加深对[x2+（p+q）x+pq]的分解结果的记忆，另外对于平方差公式以及完全平方式都可以利用这一思想来识记。

三、函数中数形结合思想的运用

函数的魅力在于能将生活中的一些复杂数学问题转化成我们熟悉的函数模型，进而得到解决。形象来说，函数就像一个机器，每个自变量都会对应一个因变量，也就是“数”，函数的图像就是我们所说的“形”，能够确定出方程的解。所以，在生活中遇到复杂的数学问题，我们可以建立数学函数模型，将数与形结合起来。

例3.某家电信公司提供了两种方案的移动通讯服务的收费标准，如下：

A方案：月租费30元，每月可以免费通话120分钟，超出后每分钟加收0.4元。

B方案：月租费50元，每月可以免费通话200分钟，超出后每分钟加收0.4元。

如果请你选择其中一种方案，应如何选择？

分析：本题是较优方案选择问题，在初中数学中比较常见，这类问题通常可以通过函数的模型加以解决。通话的费用与通话的时间有关，因此先建立通话费用y关于通话时间x的函数关系。接下来有两种解法，从“数”的角度，化归为解一元一次不等式或方程来求解；从“形”的角度，画出各个函数的图象，求出交点坐标，分析每一段图象的位置来比较方案的优劣。

解：设每月通话时间为x分，A方案通话费用为[y1]，B方案通话费用为[y2]，则

[y1=30（0≤x≤120）30+0.4（x-120）=0.4x-18（x>120）]

[y2=50（0≤x≤200）0.4x-30（x>200）]

在同一坐标系中画出函数图象，通过观察图象可得：

当[0≤x<170]时，[y1170时，[y1>y2]，此时应选择B方案。

总之，数形结合思想在对于培养学生的空间和数感方面有启迪作用，可以将生活中的复杂问题转化成具体问题。正如数学家华罗庚说过的：数形结合千般好，数形分离万事休。数形结合思想是初中乃至高中中的一种重要方法，在解决数学问题给我们极大地帮助。

参考文献：

[1]程旷主编.巧学初中数学80法[M].农村读物出版社.

[2]安徽省2011—2012学年度第一学期第一次联合考试试卷.七年级数学.

[3]义务教育课程标准实验教科书，数学，八年级上册[M].人民教育出版社.