均匀平面电磁波场强解析解的算法研究

李海斌， 王树庆

(1.河北科技大学 信息学院，河北 石家庄 050018；2.石家庄数英仪器有限公司 生产部，河北 石家庄 050000)

均匀平面电磁波场强解析解的算法研究

李海斌1， 王树庆2

(1.河北科技大学 信息学院，河北 石家庄 050018；2.石家庄数英仪器有限公司 生产部，河北 石家庄 050000)

对无限大均匀线性各向同性介质中的均匀平面电磁波的场强，分别采用时域法和频域法进行了推导和分析.两种算法的数学本质和场强解析解的物理意义为：电场强度和磁场强度具有相同的空间相位和时间相位，并且电场强度垂直于磁场强度，它们与电磁波传播方向垂直.电场强度与磁场强度的振幅只相差一个比例因子.

均匀平面；电磁波；场强；解析解；时间域；频率域；麦克斯韦方程；波动方程

均匀平面电磁波是一种最简单的电磁波形式[1].天线辐射的电磁场在远区小范围内可以看作是均匀 平面电磁波，因此，均匀平面电磁波的场强分析具有十分重要的现实意义.场强的计算方法包括数值算法和解析算法.由于均匀平面电磁波具有良好的对称性，因此，可以利用解析法进行公式的推导与计算.

1 电磁波的波动方程组推导

假设无限大均匀线性各向同性介质中，电场及磁场分布分别满足约束条件：

E=E(z,t)

(1)

H=H(z,t)

(2)

并且介质满足两个约束关系：B=μH，D=εE，其中μ为磁导率；H为磁场强度；ε为介电常数；E为电场强度.

基于上述假设知，电场强度与x变量、y变量无关，磁场强度也与x变量、y变量无关，并且介电常数和磁导率都是固定的常数.根据麦克斯韦方程，考虑到所分析场点没有电流源，也没有电荷源，因此有下列公式成立：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

根据公式(4)和公式(5)，有下列等式成立：

(8)

(9)

(10)

根据公式(6)和公式(7)，有下列等式成立：

(11)

(12)

(13)

公式(8)和公式(12)中都有Ex和Hy，联立两个公式，消去Ex有：

(14)

从公式(9)和公式(13)组成的方程组中消去变量Hy：

(15)

通过观察可以发现，公式(14)和公式(15)即为均匀平面电磁波的波动方程.

公式(9)和公式(11)中都含有Ey和Hx，联立两个方程，消去Ey，可得

(16)

再从公式(9)和公式(11)中消去变量Hx得：

(17)

通过观察可以发现，公式(16)和公式(17)也是均匀平面电磁波的波动方程，而且场强数值具有对称性.

2 场强计算公式的推导

2.1 方法一：时域法[2]求场强

根据方程(14)，下面的表达式满足其解

Hy=Hy0cos(wt-wz/u)

(18)

根据公式(18)可得：

(19)

在公式(19)的推导过程中，变量u为电磁波在均匀介质中传播的相速,其数值为:

(20)

根据公式(18)和公式(19)，在无限大均匀线性各向同性介质中传播的电磁波的电场强度和磁场强度，在空间某一点具有相同的空间相位和相同的时间相位，且两者的振幅相差一个比例因子.

空间某场点的磁场强度振幅为Hy，电场强度振幅为Ex，两者有如下的关系:

(21)

根据波动方程(16)和波动方程(17)，求取均匀平面电磁波场强的解析解.

根据公式(16)，其解析解为:

Hx=Hx0cos(wt-wz/u)

(22)

再根据公式(9)，电场强度Ey为:

(23)

从公式(22)和公式(23)可以看出，电磁波传播的方向与Ey，x，Hx的方向一致.

2.2 方法二:频域法(复数法)[3]求场强

在无限大均匀线性各向同性介质中，在无源区域的时谐电磁场满足复数麦克斯韦方程:

rotH=jwD=jw·E

rotE=-jwB=-jwμH

divD=0

divB=0

(24)

根据假设和公式(24)，可推导出公式(14)和公式(15)或者公式(16)和公式(17).本部分根据波动方程求取时谐波的解析解.

公式(26)为满足波动方程式(15)的复数解析解：

Ex=E0ejφe-jkzejwt

(25)

根据公式(8)知，

(26)

公式(25)和公式(26)的瞬时值表达式分别为[1]：

Ex(z,t)=E0cos(wt-kz+φ)

(27)

Hy(z,t)=ZcE0cos(wt-kz+φ)

(28)

公式(28)中，Zc为波阻抗.由公式(27)和公式(28)可以发现，电场强度和磁场强度具有相同的空间相位和时间相位，并且Ex,x,Hy的方向与电磁波传播方向一致.两者的振幅只相差一个比例因子.

3 结语

通过对比可以发现，时域法对于理解电磁波的物理意义有一定的帮助,频域法对于简化推导过程有积极作用，并且两种算法的结果完全一致.这两种算法成立的前提是，电场强度和磁场强度的数值只有横向分量，没有纵向分量.通过提出假设可以简化麦克斯韦方程的求解过程.

[1] 邹澎，周晓萍，马力.电磁场与电磁波：第2版[M].北京：清华大学出版社，2016:224-227.

[2] 程守洙，江之永.普通物理学:第3册[M].北京：高等教育出版社，1979:112-118.

[3] 张洪欣，沈远茂，韩宇南.电磁场与电磁波：第2版[M].北京：清华大学出版社，2016:157-160.

责任编辑：金 欣

Algorithm as analytic answer of field intensity of
plane uniform electromagnetic wave

LI Hai-bin1, WANG Shu-qing2

(1.School of Information Technology, Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang, Hebei 050018, China;2.Center of Production, Shijiazhuang Suin Instruments Co. Ltd, Shijiazhuang, Hebei 050000, China)

Field intensity is related to plane uniform electromagnetic wave which travels in linear isotropic uniform medium, while analytic algorithm can be classified into time and frequency domains. Its mathematical theory and physical meaning claims that electric and magnetic field intensities have the same space and time phases at perpendicular status. Both are perpendicular to the wave travelling direction. Amplitude of magnetic field divided by wave impedance is the amplitude of electric field.

uniform plane; electromagnetic wave; field intensity; analytical answer; time domain; frequency domain; Maxwell equation; wave equation

2017-03-21

李海斌(1966-)，男，河北石家庄人，河北科技大学副研究员，硕士，从事电子工程领域的教学与科学研究工作.

1009-4873(2017)04-0026-03

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