处理多元函数最值问题的几种常见方法

展晨

纵观各级高考模拟试题，竞赛试题中，多元函数最值问题屡见不鲜，多元函数问题在高等数学中非常常见，但如何用初等数学的知识处理这部分内容，是目前高考形势下值得研究的一类问题，下面以以2014年高考辽宁卷理科16题为例，谈谈这类问题适合高中生学习的几种解法。

对于c>0，当非零实数a，b满足4a-2ab+4b-c=0且使2a+b最大時，-+的最小值为 。

本题是一个求三元函数最值的问题。通常情况下，消元是处理多元问题最基本的方法。分析题干可以得出，问题中的最小值是在一个三元方程中，目标函数取得最大值这个条件下去求，解题的方向可以考虑寻求2a+b最大时a，b，c之间的关系，将三元函数的最值转化为求一元函数的最值问题。

解法一：基本不等式法

考虑将三元方程利用基本不等式化为含有2a+b的形式，根据等号成立的条件去寻求a，b，c之间的关系。

以下同解法一。

多元问题，字母多，式子复杂，一般来说，消元是解决此类问题首选的方法，上述解法中，找a，b，c的关系，换元，代入等方法都体现了消元的思想，但本题的入口较宽，几种解法的出发点不尽相同，方程4a-2ab+4b-c=0实际上也可以看成关于a，b的二次方程，因为-2ab这一项的存在，加大了题目的难度，如果改编成无ab项的二次方程，题目就成为了一道基础题，可以用解析几何等知识轻松解决。处理-2ab时有两种思路，一是先凑成（2a+b），剩余的3b（2a-b）可根据基本不等式凑成含有（2a+b）的形式，需要熟练掌握配凑式子的系数，这就是解法一；二是根据ab的系数直接整理出（2a+），剩余的式子也是一个平方的形式，接下来可以选择三角换元，柯西不等式等方法，选择柯西不等式对考生处理式子的能力要求较高；解法四是考生最容易想到的，整个过程中通过整体代入先求得了最大值，再根据最大值求得a，b，c之间的关系，从而达到消元的目的，解法自然，无需过多的技巧。

本题消元的过程中，体现了几个常见的数学策略，一是解题时要观察题目中条件的特异性和方向性，如本题的方程4a-2ab+4b-c=0是一个二次方程，就可以联想到解决二次方程问题的几种思路，而2a+b取得最大值为解题提供了思考的方向；二是要善于建立不同知识之间的联系，根据不同知识的运用特点，选择解题的方向。endprint