从现实生活中的概率应用谈探究性学习

张远富

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）09-0075-01

探究学习是素质教育倡导的一种学习方式，进行探究学习有利于调动学生学习的自主性，使其进行主动的探索活动，培养学生的创新能力、问题意识，以及关注现实，关注人类发展的意识和责任感，有利于改变学生对学习数学的枯燥感觉，有利于提高学生的动手能力和解决问题能力。

接下来就是针对现实生活中的一个问题怎样来探究学习：有一百万张奖票，唯一的奖项是一张10万元的大奖，第一个排队买彩票的人中奖的概率与最后一个买彩票的人的人的中奖的概率有什么区别？这个问题对很多热衷于买彩票的人来说，很少有人探究彩票中奖与概率之间的关系，甚至有人认为彩票中奖与概率之间没有什么必然关系，其实不然。

有关彩票中奖的问题暂时先放一下，我们先探究另一个问题：一个袋子装有100个球，其中有60个红球，40个白球，从中每摸出一个球而不放回去，问第一次，第二次，第三次摸到白球的概率是多少？设第一次摸到白球为事件p1（白），第二次摸到白球为事件p2（白），第一次摸到红球为事件p1（红）。显然第一次摸到白球的概率很容易得出答案：40/100。但是第二次摸到白球的概率怎么算呢？有的学生回答是 39/99，有的学生回答40/99，这两种答案正确吗？谁是对的，让学生进一步思考讨论。回答第一种答案的理由是第一次取走了一个白球剩下只有39个白球了，当然是概率就是39/99。回答第二种答案的理由刚好反过来，认为第一次取走的是红球而并非白球，当然概率就是40/99。根据以上两种理由，于是有人对以上的答案作出了否定，因为第一次取走什么球是偶然的，而非必然，取走红球或者白球都有可能并对第二次取走白球的概率是有影响的，此时继续鼓励学生怎样求出第二次取得白球的概率？启发学生第一次取得的球可能是白球，也可能是红球，那么第二次取得白球的概率就有几种情况：一种是先摸到白球后摸到红球，另一种情况是先摸到红球后摸到白球，则第二次摸到白球的概率就应该这样算：P2（白）=P1（白）×P2（白）+P1（红）×P2（白）=40/100×39/99+60/100×40/99=40/100。居然同第一次摸到白球的概率相同，学生感到很惊奇，紧接着计算第三次摸到白球的概率，这时学生很容易探索出第三次摸到白球有四种情况：即（白、白、白）、（白、红、白）、（红、白、白）、（红、红、白），概率就是：P3（白）=40/100×39/99×38/98+40/100×60/99×39/98+60/100×40/99×39/98+60/100×59/99×40/98=40/100，又是40/100。此时点名计算法就是今天要学到的全概率公式。做完这道题后，马上有提出问题，第十次，第二十次，摸到白球的概率又是多少？于是学生猜测还是40/100，能否验证一下，学生感觉有点困难。显然按照这种计算很复杂，能否有其他办法？引导学生用比例考虑，讨论摸索，从而，探索出一种简单的方法，考虑第一次取球，红球为60/100，白球概率为40/100，即“红球占60/100，白球占40/100”。这样相当于从100个球中按比例取出了一个球，那么剩下的99个球中白球与红球的比例，取第二个白球的概率就是40/100，這种方法简单易懂。同理我们可以得到：取到第十次，二十次时，白球的概率仍为40/100。关键要理解按比例摸球，这对于解题起着很大的作用，学生可以在未知第一阶段的具体取球的情况下，只考虑第二阶段，从而简化全概率公式。

回过头到第一个问题上，把这个模型运用到彩票问题上。第一个排队买彩票的人，其中奖的概率与最后一个人没有任何区别的，因为，前面买彩票的人按比例拿走了彩票，这并不影响后面购买者的中奖概率。可能有人会想“第一张彩票万一就是中奖的，买了岂不是赚了？”但是条件必须是“第一张彩票中奖”。因此，条件概率与我们所说的不同，我们可以称前面的摸球模型为“彩票模型”。

以上是对买彩票中奖问题的探究性学习过程记录，这里特别强调学生进行研究性学习，就要从现实的有趣的富有挑战性的问题中进行，采用观察、猜测、合作交流等数学活动，构建“问题情景——建立模型——解释、运用于扩展”基本模式中训练。

在接下来，在研究一个与彩票类似的问题。在民间老百姓吃酒经常玩的一种游戏，在我接触到的所有玩这种游戏的人，没有一个人明白其中里面的道理是怎么一回事。这个游戏是这样玩的，只要有两个人以上就可以玩，如果有8个人，就准备8枚硬币之类的小东西，其中1人用手包住8枚硬币中的任意几枚，叫其他7人一个一个的猜，谁猜中包的硬币数，就罚谁喝酒，7个人若都没有猜中，包硬币的人自罚酒，吃酒的人又继续重新包硬币开始，在这个游戏中，学生提出了以下问题：第一种观点是：首先猜的人猜中的几率最小，其次是第二人，从此类推最后一人猜中的几率最大；第二种观点是：包硬币的几率最小；第三种观点是：所有人猜中的几率都一样的。问题提出来让学生给出理由，通过学生相互讨论后，第一种观点的理由是：首先猜的人猜中的几率只有1/8，第二个人猜中的几率变成了1/7，以此下去，最后一个人猜中的几率是1/2，而第二、三种观点理由不充分，只是感觉和实践中的体会，进行到这里，必要提醒学生这个问题与模型彩票中奖的问题是否相似？经过一阵思考后，于是有的学生立即站出来反对第一二两种观点，而赞成第三种观点。首先猜中的概率却是只有1/8，但如果首先猜中的话（这种可能是存在的），下一个人猜中的概率还是1/7吗？不就是0吗？因此，第一种观点是错误的，第二种是同样的道理，显然也是错误的，只余最后一个观点，我就想到已经探究解答的买彩票中奖问题，实质是一样的，也是一个按比例猜币问题，每一个人猜币都按1：7中与不中比例猜测的，因此，每一个人包括包币的人都应该是一样的。到此，我们对概率在生活中的一些问题应用的探究就告一个段落。

通过以上的探究、争论，学生对概率在生活中的运用有了更深刻的认识、了解和特殊的兴趣，同时充分调动学生学习的积极性，培养了学生善于提出问题，大胆猜测的创造性思维方式，改变了学生学习数学的枯燥感觉，并在这个过程中初步体验了数学、了解数学、认识数学的价值，总结数学的规律，发展数学能力的目的。endprint