让学生多维度思考问题——以一道练习题的教学为例

文︳郁晶晶

让学生多维度思考问题
——以一道练习题的教学为例

文︳郁晶晶

在学完比的应用后，学生学习的劲头很足，对于一般的按比例分配的题目，做题的兴致很高，解答正确率高。如果遇上稍难的题目，学生会不会运用所学的知识顺利解答呢？为了培养学生灵活运用知识解决实际问题的能力，在整理与复习课上，我给学生出示了一道综合应用题：甲、乙两箱中粉笔盒数之比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱中，甲、乙两箱中粉笔盒数的比变为7∶5，那么甲、乙两箱中共有粉笔多少盒？

这道题有一定的难度，我先让学生独立思考，然后一起探讨如何解题。在思考的过程中，很多平时一拿到题目就动笔写的学生轻蹙眉头，不知从何处下手；还有的学生不停地在草稿纸上写写、画画。10分钟后，有学生终于展颜，有了答案。于是我让解出答案的学生上台汇报。

生1的方法是：不管甲、乙两箱中的粉笔盒数怎么变化，粉笔的总盒数是不变的，因此，可以设甲、乙两箱共有粉笔x盒。变化前，甲、乙两箱中粉笔盒数之比为5∶1，可知甲箱中粉笔盒数占了总盒数的，所以甲箱中有粉笔x盒；当从甲箱取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱中粉笔的盒数之比为7∶5，可知甲箱中粉笔的盒数占了总盒数的，这时甲箱中有粉笔盒。根据等量关系式：变化前甲箱的粉笔盒数-变化后甲箱的粉笔盒数=12，我们可以列出方程：x-x=12，解得x=48。所以甲、乙两箱中共有粉笔48盒。

这一方法是借助于按比例分配的思路，根据题意列出方程解题，解题的思路清晰，计算相对容易，其他学生容易理解。

生1的方法刚讲完，生2就迫不及待地汇报了他的方法，他是用比来解的。

生2的方法是：因为变化前甲、乙两箱中粉笔的盒数比是5∶1，那可以设乙箱原有粉笔x盒，则甲箱粉笔为5x盒，根据“甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱中粉笔盒数的比变为7∶5”这一关键句来列方程。等量关系式为：（甲箱原有的粉笔盒数-12）∶（乙箱原有的粉笔盒数+12）=7∶5，列出方程为（5x-12）∶（x+12）=7∶5。

面对这一方程，学生们一筹莫展，都不会计算。于是我引导学生回顾所学的知识：“两个数的比就是什么？”生答：“两个数的比就是两个数相除。”学生茅塞顿开，反应快的马上把算式写成了（5x-12）÷（x+12）=7÷5，解出x=8，则5x=5×8=40，40+8=48（盒）。所以甲、乙两箱中共有粉笔48盒。

还有学生指出可以运用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”来解：（5x-12）∶（x+12）=7∶5，则有（x+12）×7=（5x-12）×5，两边分别运用乘法分配律去掉括号，得到7x+84=25x-60，再根据等式的性质求出x=8。

这一方法所列方程计算时有点复杂，但是学生能够在老师的启发下根据比与除法的联系、比例的基本性质和等式的性质进行解答，也非常不错。

当我把期待和赞许的目光投向全班学生时，精彩又来了——

生3的方法是：不管甲箱和乙箱中的粉笔数量怎么变化，两箱粉笔的总数量不变，就是说单位“1”没变，只是变化前和变化后甲箱与乙箱中的粉笔盒数所占的分率发生了变化，甲箱中的粉笔盒数变化前占了总数的，变化后占了总数。之所以会有这样的变化，是因为甲箱取出12盒给了乙箱，只要找到12盒这个比较量所对应的分率就可以知道单位“1”的量是多少。很多学生满脸疑惑，似懂非懂。生3根据题目中的量率对应关系画出线段图（如图1），指着线段图中甲“取出12盒”这一部分说：12所对应的分率正好是（-），也就是说，已知总数的（-）是12，求总数是多少，可以用除法计算，列式为：12÷（），答案为48盒。

图1

这种解法干净利落，思路非常清晰。听他对照线段图分析完后，原来云里雾里的学生眉头渐渐舒展开来。

此时，生4兴奋地站起来说从生3的方法中得到了启发。他一边说一边画图（如图2）：变化前甲乙两箱中的粉笔盒数比为5∶1，即乙箱中的粉笔盒数占总数的；甲箱取出12盒给乙箱后，两箱中的粉笔盒数之比为7∶5，即乙箱中的粉笔盒数占总数的；乙箱新增的这“12盒”对应于总数的分率为（-）。

图2

学生纷纷点头，没等生4说完，就写出了算式：12÷（），算出得数为48。

当学生沉浸在会心一悟时，我又要求学生对照板书，找出几种方法的异同，沟通方法之间的联系。学生积极交流、思辨，课堂呈现出从未有过的活跃。

一道综合题，学生居然得出了多种解法，我在惊叹之余，颇有感触。

综合题对相当一部分学生来说是有挑战性的。教师要先给学生尝试的机会，让他们有独立思考的时间。对很多学生来说，只有思维碰壁后，才会有想要学习、想要掌握、想要倾听的意愿。

在解决这道综合题的过程中，正是由于教师给足了学生思考的时间，学生得出了不同的解题方法。教师及时引导学生进行对比、辨析，沟通了这些方法之间的内在联系，使训练效果达到最大化。尤其值得一提的是，方法三采用了量率对应的方法解决问题。运用这一方法把比的应用问题转化成分数乘除法应用题，实现比与分数之间的快速转化是前提，理清量率之间的对应关系是关键，利用线段图帮助理解题意是一种重要策略。从案例中我们可以发现，学生理解方法三是有困难的，而借助线段图，较好地实现了比与分数之间的转化、量率对应关系的建立和基本数量关系的表达。由于受到方法三的思路的启发，有学生甚至自然迁移出另一种方法。

数学是锻炼思维的体操，是启迪智慧的钥匙。培养学生的数学思维是数学教学的基本任务之一。在教学中，教师要让学生多维度思考问题，鼓励学生进行探讨，把思考引向深入。本节课虽然教学时间延长了20分钟，但学生的思维是活跃的。他们在不断探索的过程中找到了方法，收获了自信，极大地增强了成功感，解题能力也得到了提高。

（作者单位：江苏省海门市海南小学）