考虑频变特性的架空输电线端口分数阶模型

梁贵书， 于 聪， 刘 欣

(华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

考虑频变特性的架空输电线端口分数阶模型

梁贵书， 于 聪， 刘 欣

(华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

分数阶微积分理论在众多领域得到了广泛应用，基于分数阶微积分理论进行建模能够准确、简洁地描述研究对象。架空线的集肤效应和有损土壤的影响是造成架空线参数频变的主要因素。应用分数阶矢量匹配法对特性阻抗进行拟合，基于递归卷积法建立了考虑频变特性的架空线端口分数阶简洁等效模型。最后通过具体算例，与电磁暂态计算程序EMTP中的J. Marti模型相比较，验证了所提分数阶模型的准确性。

频变特性； 特征阻抗； 端口模型； 分数阶模型

0 引 言

导线的集肤效应和有损土壤的影响导致架空线的电阻、电感参数呈现出频变特性。二十世纪七十年代以来，许多学者对频变参数线路暂态计算问题进行了研究，并基于行波方程建立了相应的模型。早期的方法主要有线路导纳权函数法、行波法以及Meyer和Dommel提出的前、反行波权函数方法，这些方法含有多个卷积积分，导致计算复杂[1]。为了解决这一问题，Semlyen用指数函数对线路阶跃响应及冲击响应进行了拟合，并利用插值法避免了卷积运算[2]。J.Marti进一步发展了Semlyen的思想，建立了更为有效的J. Marti模型[3]，并嵌入到了电磁暂态计算程序ATP-EMTP中。

对J. Mart模型分析可知，频变传输线端口建模的思路是对传输线的特征阻抗和传播参数进行拟合，从而得到频变传输线端口模型。文献[4，5]应用矢量匹配法对传输线的特征导纳和行波权函数进行有理近似，得到了更好的电磁暂态仿真计算结果。文献[6]将多导体传输线的土壤复数阻抗拓展为土壤运算阻抗，采用Pade展开法，提出了计及土壤影响的多导体传输线的时域模型。文献[7]考虑多层土壤对传输线的影响，采用矢量匹配法并结合拉普拉斯反变换将土壤阻抗的时域形式展开为有限项指数函数之和，得到传输线频变模型。文献[8]对传输线阻抗中的频变部分用矢量匹配进行拟合，建立传输线频变模型。

上述已有模型虽然在准确性上有很大提高，但其形式都较为复杂，因此需要提出一种更为简洁的考虑土壤参数频变特性的传输线端口模型。本文在考虑导线的集肤效应和土壤电参数(相对介电常数和电导率)频变特性的情况下，基于分数阶微积分理论，对传输线特征阻抗进行拟合，运用递归卷积法建立了结构简洁的架空线端口分数阶模型，并通过算例验证所提分数阶模型的准确性。

1 考虑频变特性的架空线端口频域模型

1.1 考虑频变特性的架空线端口频域等值电路

作为多导体传输线，考虑频变特性时，线路电报方程的复频域形式为

(1)

(2)

式中:Le、Ce分别为理想情况(无损线且不考虑大地的影响)下多导体传输线的单位长度电感、电容矩阵；Zg(s)为计及土壤损耗时的单位长度土壤阻抗矩阵；Z0(s)为计及线路损耗时的单位长度内阻抗矩阵；对于架空线路，由于单位长度电导矩阵G数值很小可忽略不计[1]，故未出现在方程(2)中。

线路的特征阻抗矩阵Zc(s)为

(3)

其中Z(s)=Zg(s)+Z0(s)+sLe，Y(s)=sCe。

采用常实数模变换矩阵将多导体的波动方程变换为多个单导体的波动方程，以图1(a)的某一模量上的单导体输电线路为例，通过求解频域电报方程可得到方程(4)和(5)。

(Uk+ZcIk)e-γl=Um-ZcIm

(4)

(Um+ZcIm)e-γl=Uk-ZcIk

(5)

式(4)和(5)可改写为

Ik=Zc-1Uk+Ikh

(6)

Im=Zc-1Um+Imh

(7)

式中：Ikh=-(Zc-1Um+Im)e-γl；Imh=-(Zc-1Uk+Ik)e-γl。

由式(6)和式(7)可得到如图1(b)所示的输电线路频域等值电路。

图1 输电线路端口频域模型Fig.1 The frequency domain model of transmission line port

1.2 架空线的分布参数计算

单位长度电感矩阵Le、单位长度电容矩阵Ce和计及集肤效应时导线的单位长度阻抗矩阵Z0的计算方法见文献[1]。下面主要介绍架空线土壤阻抗Zg的计算。

图2 以大地为回路的多导体传输线的截面示意图Fig.2 Schematic section of MTL(multi-conductor transmission line) looped on the earth

图2为以大地为回路的多导体传输线示意图，设土壤的电阻率为σg、介电常数为εg、磁导率为μ0、信号角频率为ω，导线足够长时，不考虑导线的邻近效应，按照复深度法，土壤自阻抗和互阻抗可表示为[6]

(8)

(9)

其中p为电磁波在土壤中的透射深度，表达式为

(10)

文献[9]对比了六种土壤电导率和介电常数的频变表达式。综合考虑频率的适用范围及是否满足Kramers-Kronig关系，本文选择形式较为简单的Portela表达式[10]。Portela对大量的土壤样本在100 Hz～2 MHz频率范围内进行测量，提出如下土壤电导率和介电常数的表达式。

(11)

式中：σ100Hz=0.01 S/m为100 Hz下的土壤电导率；θ为土壤模型的可调参数；Δi为频率为1 MHz时ωε的值。参数θ和Δi由土壤模型确定，对一般土壤可取中间值[11]，即θ=0.706 Δi=11.71 mS/m。

整理式(8)～(11)，并令s=jω得到土壤阻抗Zg的复频域表达式。

(12)

(13)

(14)

显然，导线内阻抗和土壤阻抗中出现了复频率s的非整数幂次，因此所求的特征阻抗含有分数阶效应。

2 考虑频变特性的架空线端口时域模型

2.1 特征阻抗的等效电路模型

应用上述模型求出的特征阻抗Zc的形式复杂，计算不便。特征阻抗Zc随频率的非整数阶幂次变化，呈现出分数阶效应。如果仍采用整数阶建模方法将导致逼近函数的阶数较高，模型较为复杂。而分数阶模型仅需要较少的参量和较少的项，就可以描述具有分数阶特征的频变特性，可有效降低模型的复杂度[12]。

本文采用分数阶矢量匹配技术，对特征阻抗Zc进行拟合。分数阶矢量匹配的拟合形式为[13]

(15)

对高h=10 m，长度l=140 m，导线半径为r=0.025 5 m，土壤低频电导率为σ100 Hz=0.01 S/m的单根传输线的特征阻抗Zc进行分数阶矢量匹配，拟合结果如图3所示。相对于整数阶矢量匹配N=8，分数阶矢量匹配N=1,α=0.35,β=-0.7时就能达到相应的拟合精度，拟合结果见表1。

此时

(16)

根据电路综合理论，式(16)中的每一项都可等效为如图4所示简单的RC支路[14-15]。

表1 Zc分数阶矢量匹配的拟合结果

图3 Zc的分数阶矢量匹配结果Fig.3 Fractional vector fitting result of Zc

图4 Zc的等效电路Fig.4 The equivalent circuit of Zc

2.2 等值电流源的时域模型

式(6)和式(7)形式上完全相同，下面仅讨论式(6)的求解。式(6)中

Ikh=-(YcUm+Im)e-γl=

-Ume-sτYcesτ-γl-Ime-sτesτ-γl

(17)

τ为电磁波沿架空线传播距离l的时间。为了便于时域计算，采用矢量匹配法[8]在复频域将Ycesτ-γl和esτ-γl均展开为

(18)

(19)

将式(18)、(19)代入式(17)得

(20)

将式(20)变换到时域可得

(21)

对式(21)右边利用递归卷积可得

(22)

其中

按同样的方法可求解式(7)中的等值电流源imh(t)。

由此可以建立考虑频变特性的架空输电线端口分数阶模型，如图5所示。

图5 输电线路时域等值电路Fig.5 The time domain equivalent circuit of transmission line

3 算例验证

以三相架空线系统为例，线路参数如图6所示，仅在A相加电压激励源，激励源为5/20 μs标准雷电波，幅值为10 kV，真空介电常数为ε0=8.854 ×10-12F/m，大地相对介电常数εr=10，真空磁导率为μ0=4π×10-7H/m，大地相对磁导率μr=1，土壤低频电导率为σ100 Hz=0.01 S/m。电源内阻电源内阻和负载均为50 Ω。

用频域算法计算A相架空线首端、末端的电压，并将分数阶时域模型计算结果、电磁暂态计算程序ATP-EMTP中J.Marti模型的计算结果与频域模型的计算结果相比较。计算结果如图7所示。

图6 三相架空线系统Fig.6 Three phase overhead transmission line system

较之J.Marti模型采用整数阶拟合特征阻抗时，匹配阶数取8阶，分数阶模型用1阶的匹配阶数就达到了相同的拟合效果，且分数阶模型的计算结果与频域模型的计算结果更吻合，从而验证了分数阶时域模型的简洁性、可行性和准确性。

图7 三相架空线始端和末端的电压响应Fig.7 Voltage waveform of the three-phrase lines at the start point the end point

4 结 论

本文考虑导线的集肤效应和土壤电参数频变特性，在分数阶矢量匹配技术、Caputo定义的差分形式、递归卷积法的基础上建立了考虑频变特性的架空线端口分数阶模型。通过算例验证了本文所提出的分数阶模型的准确性。相比于整数阶模型，分数阶模型仅需要较低的拟合阶数就可以获得较好的计算精度，这表明，分数阶微积分适用于传输线端口有关频变效应的建模，所建的分数阶模型更为简洁。

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Fractional Order Model of Frequency-dependent Overhead Transmission Line Port

LIANG Guishu, YU Cong, LIU Xin
(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Fractional calculus theory has been widely applied in many areas. Basing on this theory, the modeling can describe the research objects accurately and concisely. Skin effect in overhead transmission line and the loss of soil caused by it are the main factors that lead to the frequency change of parameters of the overhead transmission line. The fractional order vector matching method is applied to fit the characteristic impedance. And basing on recursive convolution, we build a simple equivalent fraction model of frequency-dependent overhead transmission line port. At last, the accuracy of the proposed fractional order model is verified by comparing with J. Marti model of the electromagnetic transient simulation program EMTP.

frequency dependent characteristic; characteristic impedance; port model; fractional model

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.04.01

2016-09-13.

国家自然科学基金资助项目(51177048，51407073)；河北省自然科学基金项目(E2012502009).

TM63

A

1007-2691(2017)04-0001-06

梁贵书(1961-)，男，教授，博士生导师，研究方向为电网络理论及其应用，电力系统电磁兼容和电力系统过电压及其防护；于聪(1991-)，女，硕士研究生，研究方向为电力系统过电压及其防护；刘欣(1980-)，男，副教授，研究方向为电力系统电磁瞬态计算，电力系统电磁兼容及电力系统过电压数值计算。