基于多媒体辅助教学下的《正态分布》教学设计与思考
2017-09-01鲍健
[摘 要] 正态分布是一种连续型随机变量分布，其研究方法不同于离散型随机变量分布.在建构主义理论的指导下，教师创设情境，学生研探问题、建构概念，借助多媒体辅助教学，明晰认识、突破难点，反思教学，提高教学水平.
[关键词] 正态分布；多媒体辅助教学；建构主义；教学设计；教学反思
[?] 教学背景
前不久，芜湖市数学名师工作室和安徽省骨干教师高端培训班联合开展了一次研修活动，笔者作为名师工作室成员上了一节研讨课，内容为选修2-3《正态分布》. 本节课是新课程的新增内容，课程标准和考试说明对此教学要求明确但标准较低，教师如何理解、把握和实施教学具有一定的代表性，值得研究！
[?] 教学设计
1. 教材分析
（1）教学内容
《正态分布》是人教版高中数学选修2-3的第二章《随机变量及其分布》的内容. 正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，是统计学中最基本、最重要的一种分布，它在现实生活中有着非常广泛的应用，值得学习，同时这也将非常有利于学生进一步学习概率统计的知识.
在学习了离散型随机变量及其分布之后，正态分布作为连续型随机变量的分布，是对随机变量及其分布的一种补充和延展，是概率知识的重要组成部分.
教材曾经是开门见山，直接给出正态分布密度函数解析式，直接提出正态分布的概念，直接表明概率和定积分的关系，这些容易导致学生一时无法了解和理解正态分布的来源和生成，教材设计不佳. 现教材利用高尔顿板试验逐步引入正态分布密度曲线，在此基础上构建正态分布概念，借助直观的试验，透过试验现象看数学本质，易于教师解释正态分布密度曲线的来源，也利于学生理解正态分布的概念，符合学生的认知规律，设计较好.
正态分布曲线的特点及其所表示的意义是本节课核心概念和最主要的内容，是知识的枢纽，故将其设为教学重点.
自主建构、理解正态分布曲线所表示的意义，对学生而言是较为复杂和抽象的，富有挑战性，容易陷入认知困境，故将其设为教学难点.
（2）教学目标
知识与技能：通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源，了解正态密度函数和正态分布的概念；通过观察、分析正态分布曲线图形，归纳并掌握正态曲线的特点及其所表示的意义.
过程与方法：师生共同通过模拟高尔顿板试验，画出频率分布直方图，描出折线图近似得到正态曲线，让学生感受到从有限到无限的研究方法，引导学生运用函数观点，从函数的角度理解和认识正态曲线，强化学生对函数思想方法的认识和理解.
在教师的指导下，学生通过观察、分析正态曲线图形，研究并总结出正态曲线的特点，并能够应用其解决一些与正态分布有关的简单问题. 在此探究过程中，使学生再次认识到运用数形结合能够很好地解决一些问题，深深地感受到数形结合这个数学思想方法的强大威力，深刻体会到图像对研究函数的重大意义，同时实现帮助学生增强其观察、分析、归纳和应用能力的目的.
情感、态度与价值观：通过设置演示试验，介绍正态分布在生活中的应用，让学生理解数学是来源于生活、服務于生活的，让其感受到数学的价值，激发其学习数学的兴趣.
通过教学中一系列的探究，指导学生自主学习，使其身在其中，体验发现的快乐和喜悦，形成积极的情感，进而逐步培养进取意识、探究能力和科学精神.
2. 学情分析及教法学法
在前面的学习中，学生已经掌握了一些相关的统计概率的知识，这为学生理解并利用频率分布直方图来研究小球的分布规律、建立曲边图形面积和函数定积分与随机变量概率关系等奠定了基础. 但是正态分布的来源、产生和发展，特别是横空出世的正态分布密度函数解析式，都是较为复杂和抽象的，学生理解起来还是比较困难的.
根据以上学情，笔者采取了如下的教学方法：
本节课是一节概念课，应该让学生经历一个“自主观察—合作探究—发现新知—归纳总结—理解运用”的过程，为此笔者在教学中采用了以探究法为主、讲授法为辅的教学方法. 对于新知的教学，按照“观察—探究—总结—反馈—再观察—再探究—总结提升”的程序组织教学，教师适时恰当地进行讲解、指导和引导，帮助学生突破难点，把握重点，充分发挥教师主导课堂教学的作用，学生全面、深入地参与课堂教学中，充分体现学生是课堂教学的主体. 同时适当地使用教学模型、实物投影仪和多媒体进行辅助教学，实现了教学素材的多样化、直观化、形象化和呈现的快速化，大大地提高了课堂教学的效率和有效性，有效地集中了学生的注意力和激发了学生的学习兴趣.
纵观整堂课的设计，笔者注重学生学法的指导：课堂上，给予学生深度参与教学过程的机会. 学生先自主观察，之后在教师的指导和帮助下，学生自主观察，独立探究，自我归纳，相互交流，形成结论或获得成果，在教师的指导下提炼结论，提升认识，应用知识解决实际问题. 这些都将非常有助于锻炼和培养学生的观察、分析能力，能够较好地引导学生初步了解数学概念和结论的产生、发展的过程，使学生在知识的产生和应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让其感受到数学的价值，进而培养其发现、提出、分析、解决数学问题的意识和能力.
比如，要求学生观看高尔顿板实验，在此过程中教师设置一系列引导问题，教师主导思考方向，学生独立观察、仔细思考后回答，从而能够较好地理解正态曲线的来源. 又如，要求学生观察、分析正态分布曲线，归纳正态分布曲线的特点，学生自主利用在函数图像所学的知识选择从图像大致形状、对称性、最高点、单调性等方面进行观察，与同学交流，形成较为全面的探究成果. 学生再次利用图像得到函数的性质，不但很好地运用了数形结合的思想方法，更是被数形结合的思想方法的魅力所折服. 再如，通过对几何画板动画的观察，学生完全能够自主分析、归纳出参数μ，σ对正态分布曲线的影响，明白在正态分布曲线图像上什么是概率，进而较好地理解3σ原则. 学生自主学习方法掌握了，自主学习能力培养了，授予学生以渔，达成教学目标就是水到渠成的了！
3. 教学辅助手段和环境
几何画板、函数图像生成器、多媒体教室.
4. 教学过程的设计
（1）创设情境，引入课题
【师生活动】 师生上台共同演示高尔顿板试验. 请学生结合高尔顿板试验思考并回答以下问题：
①小球在落下的过程中发生了什么？
②小球落下后，它的位置变化有规律吗？
③在此试验中，什么影响了小球落下的位置？
④什么对小球落下的位置结果影响大？
⑤前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？
⑥你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？
⑦你能事先确定某个小球下落后的位置吗？这些小球落下的位置有规律可循吗？
设计意图：创设情境，为导入新知做好准备. 教师问题指引，学生体验感悟，对试验的过程、结果、发生原因进行定向思考. 让学生参与演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.
点评：以问题为指引，确定思考方向，抓住问题的核心，感性和理性并存.
采用独立思考后再合作交流，加强学生的合作意识. 学生深度地参与教学过程，亲身体验“正态分布曲线“的发现和生成历程.
（2）研探问题，建构概念
首先，用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律.
①将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表.
【师生活动】 师：频率分布直方图如何作出？它的横、纵轴分别是什么？
师：这里每个长方形的面积的含义是什么？
设计意图：通过教师设问，学生思考后回答，引导学生思考回顾，加深学生对频率分布直方图的理解，为后续学习做好知识铺垫. 通过多媒体演示作图过程，提高课堂的效率.
点评：教师将与新知有关的旧知提取出来，加以温故，作为知识的“生长点”，进而引出、构建新知，这是符合学生认知的规律，帮助学生打好更新、发展认识的基础.
②以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图. 连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（分组数n=10）.
图1
③随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线.
图2
[师生活动] 师：这是什么样的曲线？（连续的）我们怎么研究它？研究它什么？（我们可以直接研究，也可以通过其他方式研究，现在不完全回答，后面再研究）它能成为某个函数的图像吗？若能，那它的拟合函数是怎样的？为什么要拟合函数呢？（暂时不回答）
从描述曲线形状的角度自然引入正态密度函数的表達式：φμ，σ（x）=e，x∈（-∞，+∞）.
【师生活动】 师：我们用函数图像生成器来画出正态密度函数的图像，与上面的曲线对比一下，有什么发现？
设计意图：以问题串引导学生认识、理解正态曲线，简单、粗线条地研究图像和与函数相对应解析式的关联点，对比分析、多媒体辅助画图感受函数拟合的效果：图像都在x轴上方和函数值都是正的；图像有最高点和函数有最大值；图像有对称轴和函数有完全平方式，等等.
设计意图：在教师的帮助下，让学生体验从有限到无限的数学研究方法，领悟到现在研究的是一个连续的问题，不同于先前研究的离散型的随机变量问题.
点评：首先让学生从形上直观地认识正态曲线，再从函数的视角探究曲线，给出曲线拟合的函数解析式，最后分析图像和解析式的对应特征，应用多媒体辅助教学手段验证函数的拟合效果.教师如此处理，直观形象、层层递进、深入浅出，学生易理解正态曲线和正态密度函数的来源和生成，较好地突破了难点.
其次，继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标.
【师生活动】 师：图3中阴影部分的面积有什么意义？
图3
然后，得到正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a 【师生活动】 在教师的引导下，学生不难发现：频率分布直方图中面积对应频率，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X落在区间（a，b]的频率. 进而得到：此时小球与底部接触时的坐标X是一个连续型随机变量. 设计意图：通过设置启发性问题，引发学生定向、深入思考. 若直接问X落在区间（a，b]上的概率，则学生不易反应过来，但设问面积的意义，学生易于联想到定积分的几何意义，故便于学生接受、理解. 另外，借助于坐标X实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的转变和跨越. 点评：教师引导学生利用定积分的意义认识到此阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的定积分，从而建立了定积分和概率的关系，即用正态密度函数在指定的区间上的定积分表示连续型随机变量在区间上的概率. 学生此刻会幡然醒悟：我们为什么要以正态曲线拟合一个正态密度函数！ 【师生活动】 师：回顾在观察高尔顿板试验时已经回答的问题，你能感受到什么样的随机变量会服从或近似服从正态分布吗？
【师生活动】 教师组织学生再次讨论，反思共识，得出新的认识：在小球的下落过程中，小球受到多次随机的不分主次的小木块的碰撞，落下后它的位置无法预计，无规律可循，但显示出中间多，两边逐渐少的结果.
服从或近似服从正态分布随机变量的特征：是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和.
设计意图：以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识；同时，培养了学生将知识联系起来进行思考的思维习惯.
设计意图：“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点之一，学生没有认识基础，教师没有教学载体，不太好处理，更难以突破了. 在此，尝试采用回顾高尔顿板试验，重新审视问题，从新的视角思考试验结果产生的过程，究其影响因素和原因，揭示问题的本质，以期有效突破难点.
通过列举实例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到正态分布和数学的应用广泛性.
（3）自主探究，分析归纳
正态分布曲线的特点：①曲线在x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，图像关于直线x=μ对称；③曲線在x=μ处达峰值；④曲线与x轴之间的面积为1.
[师生活动] 教师要求学生自主观察、分析正态分布曲线，结合正态密度函数解析式，归纳正态分布曲线的特点及相应理由；与小组同学交流、纠错、补充；小组代表展示成果，师生共同评价、完善，形成较为全面的探究成果.
设计意图：在教师的指导下，学生自主分析图像和解析式，选择从曲线对称性、最高点、单调性等方面观察得到曲线的特点，锻炼了学生的观察能力和归纳能力；很好地运用了数形结合的思想方法，学生更是被数形结合思想方法的魅力所折服；如何利用在函数所学的图像知识.
点评：学生深入参与课堂教学，经历知识形成的过程，自主在其“最临近发展区”构建新的知识框架，既突出了重点，又能掌握较好.
（4）动画演示，明晰认识
参数μ和σ对正态曲线的影响：教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察.
第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数；
第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数.
设计意图：针对解析式中含有两个参数，学生很难独立自主地分析参数对曲线的影响，教师在此讲授面对两个参数时常用的处理方法是：先固定一个参数，再讨论另一个参数对图像的影响.应用多媒体动画演示变化，形象直观、一目了然，有效地降低了学习难度、较好地突出了重点. 此处不适宜让学生自主探究，否则可能会遇到理解认识的瓶颈.
点评：教师借助计算机模拟呈现了教学中难以呈现的内容，将难点一击而破，将重点凸显而出，充分发挥了信息技术辅助教学的作用.
[?] 教学反思
在教学中，以问题为指引，明确学生的思考方向；以探究活动为平台，促使学生深度参与教学；创建自主课堂，营造轻松、愉悦的学习氛围；应用多媒体辅助教学，有效地突破难点，提高教学效率. 本节课，在多媒体辅助教学下，实现了高效课堂，达到了预设教学的目标.
1. 多媒体辅助教学与板书
在教学中，笔者根据学情和教学内容的需要选择性地适度使用多媒体进行辅助教学，节省了教学时间，降低了教与学的难度，使教学进程更加连贯，使教学素材实时生成、形象直观，效率高、效果好、成效明显！但笔者认为，数学教师的板书演示还是不可或缺的！精心设计的板书，合理演示的板书，将会很好地展示师生数学思维发展的过程性和多样性，清楚呈现教学成果，直接示范数学语言的规范表述. 多媒体辅助教学是需要的，也是重要的，但数学教师的板书是更重要，是多媒体不可替代的.
2. 学法指导
建构主义学习理论告诉我们：学生的学习是在教师的指导下，以学生为中心的学习，教师是意义建构的帮助者和促进者. 因此，教师有效的学法指导将大大增强学生学习的目的性和实效性.
（1）使学生被课堂教学所吸引. 设置问题情境，抓住注意力和思维，保持好奇心和求知欲，让其乐学. 如课题引入时，师生上台共同演示高尔顿板试验，在问题任务的驱动下，学生观察、感受、思考、分析试验现象，情绪高涨、注意力集中、思维敏捷.
（2）让学生亲身经历探究过程. 开展探究活动，让学生经历新知产生、形成和发展的过程，学生实践了学习新知的方法，授之以渔，让其会学.如面对正态曲线的特点问题，在教师的指导下，学生类比运用研究函数图像的数形结合方法来探究，这既让学生践行了此研究方法，又加深了学生对此法的理解和掌握，更重要的是，表明了学生会思考、会解决问题、会学习了.
（3）让学生应用知识解决问题.应用知识解决实际问题，让学生经历归纳、总结、应用的过程，使其体会到数学来源于生活又服务于生活，使其感受数学的价值，让其学会、让其会用. 如在学生构建正态分布的概念后，教师列举众多与学生生活、学习相关的服从或近似地服从正态分布的具体例子和例题，说明了正态分布在概率和统计中占有重要的地位和应用价值.
3. 教学评价
正态分布虽是一个应用范围广泛的知识，但对学生而言，它仍是一个较为陌生的概念，学生没有多少相应的知识、方法、思维的储备作为基础，尤其是由离散型跳跃到连续型，由有限质变到无限，对学生的挑战较大.我们如何对教学对象、教学过程、教学结果、教学实施等进行评价，这是值得深思和研究的.
笔者认为，课堂上教师和学生都是教学评价的主体，学习过程与结果的评价同等重要，我们可以通过观察学生能否积极参与课堂教学过程、能否积极思考问题、能否理解掌握新知并运用其分析解决问题来评判好坏、优劣、适合与否.教学中，教师要让学生全面、深入地参与教学过程，亲身体验、独立思考、交流质疑、归纳总结、构建新知；教师要时刻关注学生的表现，准确定位学生的需求，适时调整和补充；教师要鼓励、促使学生思考、总结、自省、提高，采用自评、互评、及时和延时点评等评价形式，考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在平等、宽容的氛围中，实现多元化评价，落实过程和结果评价. 这样，我们及时、有效的反馈和肯定将会极大地调动学生学习的积极性，良好的情感体验将对学生学习的有效性、持续性和发展性起至关重要的作用！
[?] 结束语
课堂上，学生的“学”是关键，学生是中心、主角；教师是教学的设计者、活动的组织者与指导者、评价的参与者与鼓励者，教师幕前当好“配角”，幕后运筹帷幄，只有这样才能充分发挥教师的主导作用，充分体现学生的主体地位！
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.
[2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准实验教科书A版选修2-3[M]. 北京：人民教育出版社.2007.
[3] 温彭年 贾国英. 建构主义理论与教学改革——建构主义学习理论综述[J]. 教育理论与实践. 2002，（5）： 17—22.
