简论均值-条件风险价值（CVaR）

李艳春

（吉林建筑大学城建学院，吉林 长春 130000）

数理研究

简论均值-条件风险价值（CVaR）

李艳春

（吉林建筑大学城建学院，吉林 长春 130000）

近年来，在金融全球化和自由化以及资本市场不断发展的背景下,越来越多的投资者加入到金融市场中,对于投资组合理论和方法的研究获得了广泛关注.金融风险研究成为了国内外金融实务界、理论界共同关注的对象.条件风险价值(CVaR)是近几年发展起来的金融风险量化工具，CVaR弥补了VaR的一些缺陷且满足一致性风险度量的标准，相比于VaR, CVaR能够对尾部风险进行很好的控制.本文主要介绍了均值-CVaR模型及其隐式解.

风险价值；条件风险价值；置信水平；CVaR模型的隐式解

1 CVaR的概念与基本理论

CVaR(Conditional Value-at-Risk)，一般被译为条件在险价值或条件风险价值.是指超过风向价值（VaR）的损失的期望值，即最高的百分之(100(1-β))所损失的平均值.

CVaR基本定义[4]:

设x为决策向量，x∈X,为不确定因素的随机向量,y∈Y,对每一个x，相应y的损失函数是f(x,y)，那么f(x,y)不超过阙值ξ的概率为：

若置信水平为a,a∈(0,1),VaRa可表示为：

VaR表示的是最大损失大于或等于概率为(1-a)的最小损失值，而CVaR定义的是平均损失值,CVaRa可表示为：

根据定义不难得到：φa(x)≥ξa(x)可见，CVaR与VaR相比较，CVaR考虑了损失尾部的分布，是一个更谨慎的度量风险价值的方法.

2 模型介绍

2.1 均值-CVaR模型

由于正态分布下,通过两个参数即方差和期望值就可以完全确定随机变量的变化规律,所以，在收益率服从正态分布的条件下,预期收益率和投资的风险就可以通过这两个参数加以描述[1][2].

假设资产回报率服从正态分布,则f(x,r)服从N(-xTR,σp2),从而VaRβ可表示为:

记H(β)=φ-1(β),β

即

CVaRβ意味着CVaR与β有关,再记则

其中ø(·)为标准正态分布,φ·)为标准正态分布的密度函数.

在均值-方差模型中将σp2换为CVaR,则可得到如下均值-CVaR模型:

其中R0:投资者期望的投资收益率;

Rn=xTR=R0:投资组合的期望收益率;

R=(R1,R2,…,Rn)T:各资产的期望收益率.

2.2 均值-CVaR模型的隐式解

利用Lagrangian乘子法来解此模型.Lagrangian条件极值函数为[3]:

其中λ1,λ2为相应的Lagrangian乘子.则的最优解的一阶条件为:

其中Ω为组合中各资产所构成的协方差矩阵.由式知,

记∑-1=G(β)-1σpΩ-1.

记a=RT∑-1R,b=RT∑-1I,c=IT∑-1I,并整理得:

以下将在置信度β为95%的情况下,验证任一前沿证券组合的最优解与n种资产的均值-CVaR模型的隐式解的关系,从而说明该隐式解的有效性.

对于MV模型:

利用Lagrangian乘子法可得:

且

对于任意投资组合条件下,收益率的期望和标准差满足

由于E(rn)和G(β)为常数,所以上述两式同解,即

从而可得:

结论

对于均值-CVaR模型的有效前沿存在,当且仅当G(β)＞且最小的CVaR为

由于

显然由

则可得到以上结论.

均值—CVaR,研究的是超出损失时的对应条件期望值,体现的是由小概率事件引起巨大损失的事件.在计算投资组合风险价值时,它比其他的传统方法更加平稳严谨.所以,此方法更符合目前社会经济现状.

实际计算过程中,要建立一个资产组合是非常复杂的过程,投资者要全面考虑各个方面的影响因素.但是,相较于之前的一些计算方法,基于CVaR方法的优化模型,从精确度和计算范围上来讲，具有更好的实用性、稳定性和易操作性[3][7].

〔1〕陈学华.风险管理的方法及其简化模型[J].数量经济技术经济研究,2006（4）.

〔2〕王建华,李楚霖.投资组合优化统一模型[J].系统工程理论方法应用,2002（1）：136-137.

〔3〕徐雅娉.基于均值一的投资组合优化模[D].青岛大学，2011.

〔4〕杜红军.VaR和CVaR风险值的估计和计[D].华中科技大学，2006.

〔5〕刘晓星.基于CVaR的投资组合优化模型研究商业研究[J].商业研究,2006（09）:15-18.

〔6〕刘晓焕,袁广信.基于CVaR的开放式基金市场风险的研究[J].中南财经政法大学学报(自然科学版)，2009(2).

〔7〕刘俊山.基于风险测度理论的VaR与CVaR的比较研究[J].数量经济技术经济研究,2007(3).

O211；F830.9

A

1673-260X（2017）08-0001-02

2017-06-18