圆锥曲线的有关问题

赵兴婷

摘要：圆锥曲线是解析几何的核心内容，本文简单讲述了圆锥曲线的定义，并对常在圆锥曲线中出现的问题进行了归纳和总结，他们分别是：在圆锥曲线中求动点的轨迹方程的常用方法：直接法、定义转化法、特征几何等式转化法和参数法；直线和圆锥曲线的位置关系，根据联立方程组解的状况来确定直线和圆锥曲线的位置关系和利用韦达定理求解直线被圆锥曲线所截得的弦长和弦的中点坐标；在圆锥曲线的最值与定值问题中常常利用参数法、配方法、判别式法、不等式的性质以及三角函数的最值法求出最大值和最小值。通过本文的归纳总结使同学们对圆锥曲线的知识有个总体的、清晰的认识，在遇到有关圆锥曲线的问题时能够思路清晰，解题时方法明确。

关键词：圆锥曲线；定义；轨迹方程；位置关系；最值与定值

我们知道，如果用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆。而如果改变平面与圆锥轴线的夹角，则可以得到几种不同类型的图形，他们分别是椭圆、双曲线和抛物线等。通常把椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。1

圆锥曲线的统一定义为：若平面内一动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比等于一个常数e（e>0），则动点的轨迹为圆锥曲线（Fl），其中定点F为焦点，定直线l为准线，e为离心率，

当0 当e=1时，轨迹为抛物线；

当e>1时，轨迹为双曲线。2

在求解圆锥曲线问题的过程中，常会遇到一些求解动点的轨迹方程的问题，讨论直线和圆锥曲线的位置关系问题以及在圆锥曲线中求解最值与定值问题。下面就分别对这些问题进行讨论与总结。

一、在圓锥曲线中有关动点的轨迹方程的求解方法

某动点按照所给的条件运动就会形成某种轨迹，由于给定条件的种类不同，从而求轨迹方程的方法也不尽相同。

1.直接法 在有些求轨迹方程的问题中，动点所满足的关系从题目条件中可以直接写出。我们只要把这些关系直接用数学语言转化成含有x，y的等式即可以得到动点的轨迹方程。由于该方法是根据题设条件直接求解出动点的轨迹方程的，所以称它为直接法。

例1如果一个动点M与两个定点A（-1，0），B（1，0）恰好组成一个三角形，在该三角形中∠AMB=π4，求动点M的轨迹方程是什么。

分析：由于∠AMB也是三角形的两条边MA与MB所在直线的夹角，所以可直接设出M点的坐标，然后代入夹角公式tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB，并化简即可。

解：设M点的坐标为（x，y），则kMA=yx+1，kMB=yx-1，

由tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB有yx+1-yx-11+yx+1·yx-1=1，即x2+y2-1=±2y，所以点M的轨迹方程为：x2+（y-1）2=2或x2+（y+1）2=2

即M的轨迹是以（0，1）或（0，-1）为圆心，半径为2的圆。

2.定义转化法 如果根据题设条件可以直接获知动点的运动轨迹正好满足某个曲线的基本轨迹的定义，这时就可以直接依据此基本轨迹的相关定义求出该动点的轨迹。

例25（2005年山东省卷）已知动圆过定点（p2，0），且与直线x=-p2相切，其中p>0，求动圆圆心C的轨迹方程。

分析：令定点（p2，0）用F表示，则由动圆经过F点，又与直线x=-p2相切，可知动圆圆心C到定点F和到定直线x=-p2的距离相等。由抛物线的定义可知，动圆圆心C的轨迹是以F为焦点的抛物线，因此直接利用抛物线的知识即可求得。

解：过动圆圆心C作直线x=-p2的垂线，垂足为N.由题意有：CF=CN，即动点C到定点F与到定直线x=-p2的距离相等。由抛物线的定义知，点C的轨迹是以F为焦点，x=-p2为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程为y2=2px（p>0）。

简评：直接利用圆锥曲线的定义列出所要求的轨迹方程的几何条件。从几何条件判断轨迹方程的类型，然后直接代入即可。

3.特征等式转化法 如果所求的动点可根据题设条件直接列出几何等式，则设出动点的坐标，然后代入几何等式中，再化简，便可求出动点的轨迹方程。

例35（2007年北京卷）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在的直线方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在的直线上，求：1）AD边所在直线的方程；2）矩形ABCD外接圆的方程；3）若一个动圆过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

分析：1）在矩形ABCD中，AD与AB垂直，所以由AB的直线方程即可求出AD所在直线的斜率，又过T（-1，1）点，因此由直线方程的点斜式便可求出直线方程。

2）M为矩形ABCD对角线的交点，即M为矩形的中心，从而M也为矩形ABCD外接圆的圆心，又M到顶点A的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可。

3）根据题意可得等式PM-22=PN，设出圆心P的坐标，用两点间的距离公式，代入该等式即可求解。

解：1）因为AB边所在的直线方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3，又因为点T（-1，1）在直线AD上，所以AD边所在的直线方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0；

2）由方程组x-3y-6=0

3x+y+2=0解得点A的坐标为（0，-2），

∵矩形ABCD的两条对角线的交点为M（2，0），亦为矩形ABCD外接圆的圆心，

又AM=（2-0）2+（0+2）2=22，即外接圆的半径为22，

∴矩形ABCD外接圆的方程为

（x-2）2+y2=8；

3）根据题意有等式

PM-22=PN，设P点坐标为（x，y），则：endprint

（x-2）2+y2-22=（x+2）2+y2，

化简后得：x22-y22=1（x≤-2），

所以该动圆的圆心P的轨迹为双曲线的左支。

简评：此例利用两圆外切及过定点的等量关系得出轨迹的几何关系，设出坐标，直接代入几何公式即可。

4.参数法 在某些时候动点的运动会因为另一个变量的运动变化而受到约束，也就是说动点坐标（x，y）中的x，y的大小分别随着另一变量的变化而发生变化，这样的一个变量我们把它叫做参数。建立轨迹的参数方程，最终只要消去其中的参数即可得到所要求的动点的轨迹方程，这种方法就叫做參数法。

例4已知某线段AB的长度为2，P点把线段AB分为AP：PB=3：1的两部分。如果点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，则动点P的轨迹方程是什么？

分析：由于AB的长度确定，A、B分别在两坐标轴上运动，P点的位置随着AB与x轴夹角的变化而变化，因此可以选择这个角为参数建立轨迹的参数方程。

解：设动点P的坐标为P（x，y），线段AB和x轴的夹角为θ，其中θ≤π2，令点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，则θ即为线段AB与x轴负向组成的角。作PM⊥x轴，垂足为M，PN⊥y轴，垂足为N，

∵AB=2，APPB=31

∴AP=34×2=32，PB=14×2=12

∴动点P的参数方程为x=32cosθ

y=12sinθ（其中θ为参数），

由三角等式cos2θ+sin2=1，消去参数θ，有 （2x3）2+（2y）2=1，

即：x294+y214=1，为所求的轨迹方程，该轨迹为以（2，0）（-2，0）为焦点的椭圆。

二、直线和圆锥曲线两者的位置关系

在同一个平面上，直线与圆锥曲线或者相交、或者相切或者相离。如何能够准确地确定直线和圆锥曲线是相交、相切、还是相离以及如果直线与圆锥曲线相交，那么直线被圆锥曲线所截得的弦长和弦的中点坐标又分别是多少，这是解析几何中的重点和难点。

1.能够利用直线和圆锥曲线的联立方程组解的状况来准确的判断直线与圆锥曲线的位置关系 解决这样的问题通常都是先将直线方程和圆锥曲线的方程结合起来，形成一个二元二次方程组，消去y（或x）后，得到一个一元二次方程。然后判断此一元二次方程的根的情况，即判断判别式Δ的值。当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ=0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相互远离。当然在消去y（或x）后，有时会得到一元一次方程，这时根据具体的情况进行判断直线和圆锥曲线的位置关系。

例52试确定实数k的不同取值，讨论直线y=k（x+1）与双曲线x2-4y2=4的公共点的个数。

解：由方程组y=k（x+1）

x2-4y2=4消去y，得

（1-4k2）x2-8k2x-4k2-4=0，

当1-4k2=0，即k=±12时，直线方程为y=±12（x+1），

而对于双曲线x24-y2=1，其渐近线的方程为y=±12x，

可见直线y=±12（x+1）分别于双曲线的渐近线平行，

所以，此时直线和双曲线分别只有一个公共点；

当1-4k2≠0时，

Δ=（-8k2）2-4（1-4k2）（-4k2-4）=16（1-3k2），

若1-4k2≠0

1-3k2=0，即k=±33时，直线y=±33（x+1）分别与双曲线只有一个公共点；

若1-4k2≠0

1-3k2>0，即k∈（-33，33）且k≠±12时，直线与双曲线有两个公共点；

若1-4k2≠0

1-3k2<0，即k>33或k<-33时，直线与双曲线没有公共点。

2.求圆锥曲线截直线所得到的弦的长度以及其中点坐标 当直线和圆锥曲线相交时，直线会被圆锥曲线截去部分线段，这部分线段就叫做圆锥曲线的弦，弦的长度和中点坐标的求解在圆锥曲线的题目中也是比较常见的。在解决这类问题时，韦达定理使问题简化了不少。如当直线的方程为y=kx+b时，弦的中点坐标（x，y）为

x=x1+x22，y=y1+y22=kx1+b+kx2+b2=k（x1+x2）+2b2

即为（x，y）=（x1+x22，k（x1+x2）+2b2）；

弦长为：

（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2

（其中x1，x2分别为直线和圆锥曲线的联立方程组消去y后所得的方程的根，y1，y2分别x1，x2代入直线方程后的值）。

例6一条斜率为3的直线经过椭圆x25+y24=1的左焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长。

解：由已知条件有a2=5，b2=4，则c=5-4=1，即左焦点F1的坐标为（-1，0），

根据题意，可以设AB所在的直线方程为：y=3x+m，又直线经过点（-1，0），所以有0=-3+m，即m=3所以直线方程为y=3x+3

因此，由方程组y=3x+3

x25+y24=1，有49x2+90x+25=0，即

x1+x2=-9049，x1x2=2549，

代入弦长公式得，

AB=（1+32）（-9049）2-4×2549=40249

三、在圆锥曲线中，求最大值、最小值与定值的有关问题

在一些有关圆锥曲线的问题中，有的量和参数的大小没有关系，这就构成了定值问题，解决这类问题常常通过取特殊值来确定“定值”是多少，或者将在该问题中涉及到的几何式子转化为代数式或者三角式，再证明此式是恒定的。endprint

在圆锥曲线中还常出现另一类问题，即最值问题，解决此类问题的一般步骤是先根据已知条件列出所要求的目标函数的代数关系式，然后再根据函数关系式的特征选用适当的方法（配方法、判别式法、不等式的性质等）求出它的最值。

例72F1，F2是椭圆的两个焦点，M是与F1，F2非共线的椭圆上的点，设I为ΔABC的内心，延长MI与F1F2交与N，求证MINI为定值。

解：先取點M在y轴上，易得：MINI=ac；

当M为椭圆上任意一点时，连接F1、I交MF2于Q，设

MF2=x，MF1=2

∵F1NNF2=MF1MF2=2a-xx

F1NNF1+NF2=F1MMF1+MF2=2a-xx

∴F1N=ca（2a-x）

∴在ΔMF1N中， MINI=MF1NF1=2a-xca（2a-x）=ac为定值。

例8已知某曲线C：x2-y2=a（x>0），其中a>0且为常数，如果A、B是C上两个不同的点，O是坐标原点，求OA·OB的最小值。

解：设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

当AB⊥x轴时，则：x1=x2，y1=-y2，所以：OA·OB=x1x2+y1y2=x21-y21=a为定值；

设当直线AB与x轴不垂直时AB的方程为y=kx+m，

则由直线AB与曲线C相交有y=kx+m

x2-y2=a，即

（1-k2）x2-2kmx-m2-a=0（1-k2≠0）

故：x1+x2=2km1-k2，x1x2=m2+ak2-1，

OA·OB=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=（1+k2）（m2+a）k2-1+2k2m21-k2+m2

=a+2ak2-1

∵x1x2>0，∴k2-1>0 ∴OA·OB>a.

综上所述，可知OA·OB≥a，

因此，OA·OB的最小值为a.

四、结语

圆锥曲线一直以来都是高中知识中的重点和难点，在高考中常常受到出题者的亲睐，常考的知识点大致也就是本文中阐述的几类问题，即求解轨迹方程，直线和圆锥曲线的位置关系以及求证定值和求解最值问题。由于圆锥曲线的知识繁多复杂，在解决这些问题时要注意合适方法的选择，注意思维的严谨性及分类讨论思想的运用。

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（作者单位：安徽省阜阳师范学院附属中学 236000）endprint