分数阻值的电阻化简问题*

陈 胤

(南京市第十八中学 江苏 南京 210022)

分数阻值的电阻化简问题*

陈 胤

(南京市第十八中学 江苏 南京 210022)

电阻 化简 定量分析 电学

1 引言

问题来源于这样的习题：电阻R=10 Ω，现有5 Ω的电阻若干：

(1)怎样才能使电路中的电流增大到原来的两倍？

(2)怎样才能使电路中的电流缩小到原来的0.5倍？

mn个电阻组成一个mn方阵，如图1所示．

图1 mn方阵

这个方阵中用的电阻有mn个之多，显然太多了，我们希望使用的电阻当然是越少越好．但是，怎样去化简呢？

2 问题讨论

这个引理的证明非常简单，方法见引言，此处略过．但是却是我们化简的基础，它告诉我们，在我们组成的mm电阻方阵中，就可以被一个电阻替代．

3 化简方法

如果m>1，在这个mn方阵中一定有mm方阵，它有多少个呢？

由于

mn=k1mm+q1m (1≤q1

(1)

所以这之中的有k1个mm方阵，它们可由k1电阻替代，如图2所示.

图2 k1个mn方阵，可由k1个电阻替代

在剩余下的q1m的电阻方阵中，又有

q1m=k2q1q1+q2q1(1≤q2

(2)

这之中的有k2个q1q1方阵，它们可由k2电个阻替代，如图3所示.

图3 k2个q1q2方阵，可由k2个电阻替代

反复(1)和(2)的步骤，最后

qjqj-1=kj+1qjqj+qj+1×qj=kj+1qjqj

(qj=1,qj+1=0)

(3)

实际上只剩下kj+1个电阻，注意到qj=1，是整个简化过程结束的标志．

我们将简化的过程归纳为：逢方归一，横向并接，纵向串接，遇一结束．

我们来看一个例子．

图4 4×15的电阻方阵

现在我们来化简，请看

(1)首先在图4左边可以得到3个4×4的电阻方阵，可以简化成3个横向的电阻，如图5所示．

图5 图4左边3个4×4电阻方阵，可简化为3个横向电阻

(2)右上角又可以得到1个3×3的电阻方阵，再简化成1个纵向的电阻，最后右下角是1个1×3的方阵，不可以简化了，就放3个横向的电阻，按照横向并接，纵向串接，简化后的结果连接起来，如图6所示.总共用了7个电阻.

图6 简化结果

4 讨论

(1)说明：从式(1)～(3)可以得到

n=k1m+q1(1≤q1≤m)

(1′)

m=k2q1+q2(1≤q2≤q1)

(2′)

…………

qj-1=kj+1qj+qj+1=kj+1qj+0

(qj=1，qj+1=0)

(3′)

式(1′)、(2′)…及 (3′)实际上就是求m和n的最大公约数(m，n)的辗转相除法，因为(m，n)=1，所以qj=1．

(2)设在前面分数电阻化简的整个过程中，我们最后一共用了k个电阻，按照我们前面的阐述有

k=k1+k2+…+kj+1

(4)

而从式(1′)得到

n=k1m+q1≥k1m+1≥k1+m

从式(2′)…(3′)可以得到类推得到

m≥k2+q1

q1≥k3+q2

…………

根据式(4)，所以有

n≥k1+k2+…+kj+1

(5)

(4)当m和n不互素，即(m，n)=d>1时，可以先约分至互素，再用上面的方法． 还可以先按照上面的方法做，到出现 下式的时候结束．两种方法结果完全相同．

qjqj-1=kj+1qjqj+qj+1×qj=

kj+1qjqj=kj+1dd

qj+1=0

5 结束语

初中物理中的一些问题，如果深究下去，其实是很有意思．探究的同时，也能提高物理教师本身的素质．

Highlights:Given mn value of resistance of 1, it can form a resistor whose value is a fractional resistance--n/m. This essay gives a method to simplify it using the least number of resistors but the resistance is still the same.

TheResistanceReductionIssueofFractionalResistance

ChenYin

(No.18HighSchoolNanjing,Nanjing,Jiangsu210022)

electric resistance;simplify;quantitative analysis;electrics

*系南京市教育科学“十二五”规划2015年度课题“中学物理课程资源开发与学生科学探究能力培养研究”，中国教育学会物理教学专业委员会2013-2016年全国物理教育科研重点课题“中学物理实验研究”之阶段性研究成果．

2017-02-22)