平方根计算失误分析及教学建议

郑学涛+朱向东

【摘 要】 平方根是初中数学的基础知识，求平方根是基本技能.教学中发现学生在求一个数的平方根时常常出错，错误的原因主要有三方面：工具性表征失败、系统性表征失败、程序性表征失败；而有效改变学生计算失误的方法也即日常的教学策略和方法主要有：合情即合理，合理即合法、练习中要有一个完整的“具体运算阶段”的过程、强调运算与结果的非一一对应、帮助学生建立符号与概念的准确对应、适宜的时机安排变式训练以及其它.

【关键词】 平方根；错误原因；教学建议

1 问题提出

在前三轮教学中发现对于问题：4的平方根是多少？（下称主问题），无论是刚刚学习平方根的学生还是进入中考复习的学生都会有相当一部分人将2作为主问题唯一的答案，而且这些学生一旦看到正确答案又恍然大悟，并将出错的原因归结为粗心大意，经过一段时间后再让这些曾经出错的学生重做主问题，绝大部分学生的答案仍然是2，可见学生真正的出错原因绝非粗心.

2 问题分析

克鲁捷斯基曾指出：对于各种现象进行研究的真正科学途径，是把它们分解成一些比较简单的成分（因素）.同样对于一种复杂的心理现象所进行的分析综合的途径，要求首先剖析它的结构，分解出它的成分（因素）[1].主问题是将平方根概念作为法则进行运算的题目，其过程也是较为复杂的心理活动.为了找到学生真正的出错原因，要从主问题的具体解答过程和学生的心理活动入手探究.而任何数学问题的解答过程都要首先从阅读题干信息开始，通过阅读信息提取关键因子，然后将关键因子当作索引，与头脑中存储的静态知识和方法准备匹配，根据匹配价值拟定解题计划并具体实施，直至问题彻底解决.提取关键因子与知识和方法匹配的这个过程称为信息表征.信息表征是在问题和知识、方法之间建立关联的必须心理活动，而一旦信息表征失败或者出现偏差，势必引起解题错误的出现.

解决主问题正确的表征过程是：首先阅读题干并将题干进行基于关键因子的物理分割，把题干分割成三部分：第一部分是“4”，是施加数学运算的对象；第二部分是“求”，是具体的数学运算行为，第三部分是“平方根”，是数学运算的目的，也即关键因子；这个过程类似于划分句子成分和抽取句子主干.接下来以关键因子为索引与大脑中知识进行匹配，由“平方根”大脑自然地调用已存储的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根，记作x=±a，而题干中的“求”是按部就班的执行这个语句阐释的法则，“4”是被执行对象，相当概念中的a.表征完毕实施计划，用4代替公式中的a可得答案为x=±4=±2.

调查学生解题时的心理活动发现，学生出错主要在信息表征环节，而结合解答过程发现信息表征失败主要表现为三方面：第一，工具性表征失败.学生初学平方根的概念，大都是从概念的工具性（运算）功能和“例子”表象来认知概念，并未成功获得对概念工作原理自我解释，是一种伪建构主义的表现，这就意味着学生再将平方根的概念作为工具使用时缺乏了“对号入座”的理性思辨，在模棱两可时用自己更愿意接受的算术平方根的概念替代平方根的概念，并作为工具使用.如果后续学习对两个概念的辨析、变式训练不到位，那么学生更容易将两个概念混為一谈，即在计算出错的学生的脑海中平方根和算术平方根是“同一个概念”，不知不觉中偷梁换柱；第二，系统性表征失败.数学概念是描述一类事物状态和运动规则的高级思维形式，基于数学的系统性，部分数学概念建立在一些基本数学概念之上，这些基本概念是学生的认知基础，如这里的平方根概念之中蕴含了“数”这个概念，因此学生在调用平方根概念解决问题时，就不仅仅只表征承载平方根这个概念的句法，还要对平方根概念所包含的一系列基本数学概念进行深度表征并进行肯定和合取，这个过程可称之为系统性表征.但一些学生对于平方根概念中的“数”往往表征为小学学习的正数，尚未形成对有理数体系的完备认识，数学系统观念形成滞后于局部的逻辑观念，形成表征失败；第三，程序性表征失败.平方根的概念主要是用方程的形式和结构定义的，方程法主要体现是在代数思维基础上对数量关系的一种结构性把握[2].而平方根的概念是以方程结构为基础的一系列关联性程序的顺序和倒序的综合体，反映在人的意识上既有正向思维也有逆向思维，而学生调用平方根的概念进行一系列表征操作时（类似于解方程）主要是逆向思维，这种思维的转换给学生的信息表征带来了不小的困难.如果学生不按照正确的程序进行，易在整个求解过程中信息表征不够彻底，或是根据自己的“一套”与平方根概念相近的“法则”得出了结果，其典型的表征和运算过程是：因为2的平方是4，所以4的平方根就是2.

3 突破失误的教学建议

问渠哪得清如许，为有源头活水来，学生在信息表征中出现问题与最初的教学有直接的关系，因此要科学的设计教与学.经过三轮的教学尝试，笔者有以下几点有效的建议.

3.1 合情即合理，合理即合法

初中生心智发展并不完全，对于新鲜事物的接受尚未形成先深度分析再决定是否接受的成熟模式，其学习的心理预备是“合情即合理，合理即合法”.因此只要学习内容合情、合理学生就有主动接受的意向和情趣.“合法”是指适合学生学习的方法，所谓“合情”，即合乎情景，即让学生完整的体验知识在社会生产生活中应运而生.同时建构主义认为数学概念的形成都是个体基本活动经验的规则化、模式化以及意义赋予，基本活动经验积累是一个“起因、经过、结果”的完备过程，也是合情的具体表现形式，正应新课标“知识背景—知识形成—揭示联系”的理念要求.因此教师在引导学生提炼平方根的概念时，必须基于一定的数学活动.这就要求教师在教学中通过创设逼真的问题情景，让学生完整的经历平方根问题提出、问题分析和问题解决的全过程，目前所有的教材都是采用出示实际问题的方式引入概念，教师要用好教材，且不可在课堂的一开始就直接介绍概念，那样必然会导致学生死记硬背.合情的活动经验能让概念在学生思维上的生长不突兀，不生硬，而合情的概念生成也能够让学生正确区分平方根和算术平方根的概念.

数学教育的长远价值是培养学生的理性思维，形成学生正确的价值观和人生观，这其中包括对一件事物合理性的思考和价值界定，因此知识冲突和矛盾是暂时的，一切矛盾和冲突是知识发展的手段，也都将归于统一，归于合理.所谓合理，即新事物的出现和要和学生已有的数学认识协同一致而不互相矛盾，使学生能够在现有的“价值标准”下接受新鲜事物.开平方是一种运算，平方根是其运算的结果，是数学发展到一定阶段的必然产物，要站在学生的角度让学生认识到平方根存在的合理性，就能够有效增加学生在解决主问题时正确表征的机会.除了合情以外让学生接受平方根的合理性要在两方面帮助学生建立价值认同：第一，数系扩充到有理数之后为保证代数结构的连通性，运算也必须具有双向性，即平方存在，开平方必定存在.第二，之所以产生平方根和算术平方根两种概念，是因为算术平方根是生活实际问题中产生的结果（如一个面积是4的正方形的边长是几？），而平方根是数系扩充后运算双向性进行的合理化补充，是数学完备性重要组成（生活生产需要的外力推动数学内部矛盾运动发展的结果，是运算的必然）.这样以学生原有的认知结构为着力点，以具体问题矛盾为力的载体，在思维的激烈辨析之后，完成知识的同化与顺应，将知识的合理性纳入“思维过程孕育结果”的课堂探究形态.

目前几大流行版本的教材都是分两课时安排学习平方根和算术平方根，而无论是先学习平方根还是算术平方根都将课时目标固缩在如何计算上，对于两者的关系比较只是一带而过，造成学生微观视角详尽而宏观视角缺乏.况且学生对于数学概念的感悟、内化、反思不是一蹴而就的，不要寄希望于学生在短短一节课中就能彻底掌握并熟练应用，需要教师在不同时段对学生进行提携.基于“合情即合理，合理即合法”教师在整体设计本章教学时，可以在同一节课中通过一个情景实例同时引入平方根和算术平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫作a的平方根，其中非负的平方根叫作a的算术平方根.第二节课作复习以及区分和对比，进一步让学生完成一定量对比性强的计算题，然后引导学生观察、分析获得对二者深刻的认识，让学生顺利完成从工具性理解到关系性理解的过渡.

3.2 练习中要有一个完整的“具体运算阶段”的过程

著名教育心理学家皮亚杰把儿童的认知发展分成四个阶段，其中第三和第四阶段分别是具体运算阶段和形式运算阶段，具体运算阶段的特点是儿童的思维具有守恒性，思维活动需要具体的内容支持，形式运算阶段的特点是儿童思维开始摆脱具体思维内容的影响.而学习平方根这一知识的学生大都处于这两个阶段的交界处且偏向具体运算阶段多一些，思维还需要具体的内容支持，因此初学平方根时，教师在对学生训练的过程中一定要借助具体的内容和形式让学生完成知识和技能的内化，在练习时，不能仅限于学生回答对了问题的答案，还要求学生把如何利用概念求得结果的过程通过说和写体现出来.如求9的平方根，要求学生这样回答：因为±32=9，所以9的平方根是±3.把表征信息作为一种形式和习惯执行，建立信息表征执行力的条件反射，用具体的个案不断强化学生对概念解释水平的认知，这一点对于习惯了过程型导向的学生来说效果明显，能有效减少诸如“因为2的平方是4，所以4的平方根就是2”的错误.用局部动作帮助学生建立“刺激—反应”的联结.并通过习题量变引起质变，让习题不仅仅成为学生获得使用概念的机会，更加成为学生提升思维的支架.

3.3 强调运算与结果的非一一对应

有很多老师为了让学生深入的理解平方根的概念以及性質，想到从学生熟悉的运算的角度对比阐释，其具体做法是类比于减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算，把开方看作是乘方的逆运算，笔者认可这种做法，同时笔者还认为教师应该引导学生看清楚，同是运算亦有区别，运算形式和运算结果是一一对应关系的前提是运算形式的域与结果的域是相同的，如初中阶段的加法在有理数范围内进行，而结果也无疑是有理数，但是开平方作为一种运算它的作用域是非负实数，而结果的域是全体实数，开平方将非负实数映射到实数上，而正实数和负实数是关于0“对称”的，于是产生结果的对称分布即非一一对应的现象.为加深学生的印象，非一一对应可用图式法表示（图1），通过数形结合帮助学生理解非一一对应.在这里非一一对应是一个很好的“反例”，它与后续知识“数轴上的点与实数一一对应”形成鲜明对比（亦是函数思想的重要体现，即对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与之相对应）因此教师要把一一对应和非一一对应当作一种初中数学重要的系统观念、数学思想来教授，对于后续知识学习大有裨益，不但能在运算结果上对习惯于结果导向型的学生形成强化（平方根的性质是运算结果的不唯一性），而且有利于学生对实数与数轴关系的理解.要做到这一点教师必须要求学生达到一定量的训练（如50个计算），然后观察结果的共性，让学生自己感悟开方作为一种运算与加减乘除运算有所不同的本质差异，并借助这种本质差异强化学生的条件反射，减少计算失误.

3.4 帮助学生建立符号与概念的准确对应

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个关键词，其中之一是符号意识，具体是指能够理解并且运用符号表示数量关系和变化规律.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式[3].符号是理学学科特有的表现形式，它的产生过程类似于象形文字，是一个从抽象到产生再到简化最后到流行的曲折的过程，有着深厚的内涵和文化底蕴，符号作为一种特殊的“记号”，它的直观性强，便于记忆和区分，且它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物[4].而代数概念的另外一个特点是通过文字信息和符号信息有效组合阐述，平方根的概念就是如此，因此要让学生在解答主问题时准确的表征信息，可以借助符号强烈表征性功能.如主问题，学生在对其表征时，首先立刻写出“± ”，然后将被执行对象“4”填入根号下，亦能有效减少计算失误.而要做到这一点，就要强化学生的符号意识，在平方根和“± ”建立准确对应关系.从最宽泛的意义上讲，学习的目的不是为了表现为形式的知识本身，知识就是文化本身，学习是文化的传承活动[5].因此还要从文化传承的高度上设计课堂教学.传统课堂教师直接介绍这符号，难免生硬，为了消除学生的认知障碍，教师还可以通过首先让学生自己设计平方根符号的活动为铺垫，然后再引出现在通用的形式，在这中间也可以讲述符号的产生历史，陶冶学生的情趣，用数学文化的魅力润泽学生的认知.

3.5 适宜的时机安排变式训练

心理学指出：认知策略的获得，需要经历习得规则、规则变式练习和规则支配自己的认知活动这3个阶段，但习得与变式的时间较长，因此需要进行变式训练以促进解题策略的迁移和思维的提升[6].平方根的概念作为运算规则是一种高于加减乘除的认知策略，根据信息加工理论，这种认知策略的品质不但与学生加工记忆时间长短有关，还与学生多视角表征的经历有关，因此只有学生经历不同环境中不同条件下在具体问题和概念之间建立关联（表征）的过程才能使学生的认知策略到达相当纯熟的地步，如教师在学生学习完实数之后的复习环节可以设计以下的变式训练问题串，帮助学生理解规则广义价值，建立认知策略高阶表征经验，也便于学生精准的把握概念的外延和内涵：问题1：4的平方根是多少，算术平方根是多少？问题2：4的平方根是多少，算术平方根是多少？问题3：如果一个数的平方根是a+6和2a-15，则这个数是多少？问题4：-42的结果是多少，平方根和算术平方根是多少？问题5：（3）2的平方根和算术平方根各是多少？顺利解决这些问题有利于学生从不同的角度将平方根的概念作为“万变不离其宗”的表征规则使用，遇到主问题这样的简单题目时，自然得心应手.

3.6 杂说

学习新知识是一项复杂的心理和行为过程，教师和学生在过程中的每个细节都会对最终得认知结果产生影响，如学生错题集的建立（含错题原因分析）、章末学生数学小论文和数学学习经历的撰写、解题方法总结等等也是一些能够提升学生学习效率、间接培养学生信息表征的好方法.此外，学生的意志、兴趣和努力程度也会对学生接受知识、表征信息产生或者好或者坏的影响，作为一名有经验的数学教师，要全方位关注课堂，切实做好授课前中后的每一项工作.

参考文献

[1]克鲁捷斯基.中小学数学能力心理学[M].李伯黍譯.上海：上海教育出版社，1993：133.

[2]张诚.有一种教学封闭叫“居高临下”[J].中学数学教学参考（中旬），2016（05）：64-67.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011：6.

[4]蔡卫兵朱贤军.把握试题精髓感悟教学价值[J].中学数学，2016（12）：84-87.

[5]杨翠蓉，周成军.布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究[J].苏州教育学院学报，2004（2）：27-31.

[6]何云英.准目标习知识炼方法善反思[J].中学教研（数学），2016（09）：19-21.