基于ARMA—GARCH模型的黄金现货价格预测

徐庆娟+杨彬彬

【摘要】本文以2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价为研究对象，对数据进行描述性统计分析、平稳性检验和相关性检验。建立ARMA（2，1）模型，对其残差序列进行ARCH效应检验，并通过建立GARCH模型消除其条件异方差性，从而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。比较t分布下和GED分布下的拟合模型，发现t分布下的更优。最后，预测在95%置信区间内黄金现货日收益率序列在未来100天内走势区间与条件标准差变化趋势，并对预测结果进行了验证。

【关键词】黄金现货价格 日收益率 ARMA-GARCH模型

一、引言

黄金作为一种具有金融属性的产品，其价格变化直接决定了黄金投资者和生产者的价值行为。而国际政治局势、利率政策、美元走势、原油价格、通货膨胀等因素相互交错作用对黄金价格产生影响。由于人们对黄金价格的关注度不断提高，对黄金价格的预测也成为众多学者的研究热点。如潘贵豪等利用ARMA-GARCH模型对黄金价格进行预测；许立平等利用ARIMA模型对黄金价格进行短期预测；罗祯利用ARIMA-ARCH模型对黄金价格动态走势进行预测；李莹等基于相空间重构处理的数据集，利用支持向量回归机对黄金价格走势进行短期预测。本文以2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价为研究对象，利用时间序列分析相关理论建立了学生t分布下的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并进行实证分析。

二、ARMA—GARCH模型

ARMA-GARCH模型的结构如下：

其中，（2.1）式表示自回归滑动平均（ARMA）模型，m是自回归（AR）的阶数，n是滑动平均（MA）模型的阶数，εt是残差项，符合异方差的特征；（2.2）-（2.3）是阶数为p和q的广义自回归条件异方差（GARCH）模型，et～N（0，1）。

三、实证分析

（一）描述性统计

本文选取的样本数据为2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价（用p表示，单位为美元/盎司），共计1946个样本数据，数据来源于锐思金融数据库。通过对数差分r=lnpt-lnpt-1，其中pt表示黄金现货在t时刻的收盘价，得到黄金现货的日收益率。收益率的时间序列走势图如下：

从图1可以看出，黄金现货收益率序列的走势是平稳的，波动呈现明显的集聚特征，即每一次大的波动后会紧跟着另一次大的波动，可能存在条件异方差。

由图2可知，黄金现货收益率序列的偏度（Skewness）小于0，呈左偏分布；峰度（Kutosis）大于3，具有尖峰的特征；Jarp-Bera统计量显著大于11，且对应的P值趋于0，说明该序列显著地不服从正态分布。

（二）平稳性检验与相关性检验

采用单位根ADF检验黄金现货收益率序列的平稳性。调用MATLAB的adftest函数可得，ADF检验统计量为-46.64546，均明显小于显著性水平1%，5%和10%下的临界值，且对应的P值为0，故拒绝存在单位根的假设，即该序列是平稳的。

调用MATLAB中autocorr和parcorr函数绘制黄金现货收益率序列滞后20期的自相关和偏自相关图，见图3所示：

从图3（上）可看出，该序列除了在滞后1、16阶具有较小的相关性之外，没有显著的前后相关性。而由图3（下）可看出该序列没有显著的偏相关性.而这些相关函数都证实了黄金现货收益率序列是弱平稳的。同理，通过黄金现货收益率的平方序列的样本自相关和偏自相关图可知，平方序列具有显著的序列相关性，而收益率平方序列的相关性恰好反映的是序列波动的集聚特征，故可认为该序列存在ARCH效应。

此外，调用MATLAB中的lbqtest函数进行黄金现货收益率序列的LBQ检验，结果见表1所示。

表1 黄金现货收益率序列LBQ统计量

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由表1可知，收益率序列的Ljung-Box Q统计量延迟16、80期的P值都小于显著性水平0.05，且h为1，则拒绝原假设，认为该序列具有序列相关性。因此，需要对该序列进行自回归拟合以充分提取序列中的水平相关信息。另一方面，收益率序列平方的Ljung-Box Q统计量在延迟8、16、20期的P值均为0，且h为1，则拒绝原假设，认为该平方序列具有序列相关性。综上，黄金现货日收益率序列既具有水平相关信息又具有波动相关信息，该序列的时序图具有显著的趋势。于是，本文可建立ARMA模型，且需对其残差进行ARCH效应检验。

（三）ARMA-GARCH模型

1.ARMA模型定阶与残差分析。本文ARMA模型的定阶从两个方面考虑：一是模型的数据特征，即自相关函数和偏自相关函数；二是模型的定阶准则AIC和SIC.本文通过结合这两方面来确定ARMA模型的階数。比较发现ARMA（2，1）模型AIC值-9.0655较小，具有较优的拟合效果。

通过运用ARMA（2，1）模型拟合黄金现货日收益率序列后进行残差分析，绘制其残差序列波动图，发现该波动具有集群特征。再对收益率序列自相关和偏相关检验，发现在滞后6阶以内，残差项基本呈现白噪声，即收益率差序列不存在自相关。

2.ARCH效应检验与ARMA-GARCH模型建立。利用Matlab的arc htest函数检验上述模型残差序列的ARCH效应，得到的结果为h=1，因此该日收益率残差序列具有很强的ARCH效应，可通过建立GARCH模型来消除该ARCH效应。

在上述ARMA（2，1）模型的基础上构造GARCH模型。考虑常见的GARCH（1，0），GARCH（0，1）和GARCH（1，1）等，经调试发现GARCH（1，1）较为合适，从而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。

3.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型估计与检验。利用Eviews8.0软件来估计该序列的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，结果见表2。

由输出结果，可得ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型方程如下：

模型参数在95%置信水平下都是显著的，系数ARCH（1）和GARCH（1）均为正值，相加小于1且接近于1，说明过去的波动对未来的波动有正向长期的影响。

图4 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的条件标准差与残差图

图4中ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型条件标准差与标准化后的残差时序图，说明该序列的波动很小，趋势平稳。通过ARMA（2，1）-GARCH（1，1）標准化残差的ACF图和标准化残差平方的PACF图，对模型的残差模型平方相关性进行检验，发现标准化的残差不具有序列相关性。

此外，根据标准化残差序列和其残差平方序列的LBQ统计量结果可知，表明标准化的残差为纯随机白噪声序列。通过ARCH-LM检验知p值为0.8417明显大于0.05，则接受原假设，表示标准化的残差序列不具有ARCH效应。由此可认为建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型可充分描述日收益率序列的水平相关信息与条件异方差性。

4.t分布与GED分布下的模型比较。更进一步，利用AIC和SC准则来比较t分布与GED分布下拟合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并作出选择.由Eviews软件分析结果可知，t分布拟合的模型的AIC与SC值分别为-6.446257和-6.420437；GED分布拟合的模型的AIC与SC值分别为-6.442684和-6.416863。相比之下，t分布对应的AIC和SC值都较小，因此可以说明t分布拟合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）比GED分布拟合的模型更好一些。

5.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波动率预测与水平相关信息预测。最后，本文通过MATLAB中的GARCH工具箱中的garchset和garchfit函数，并用MMSE预测方法预测在95%置信区间内日收益率序列在未来100天内走势区间与条件标准差变化趋势如图5，为黄金投资者或生产者做经济决策提供依据。

图5 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波动率信息与水平相关信息的预测

为验证模型预测的有效性，本文选取2017年1月4日至2017年4月10日的数据进行测试。利用上述模型预测黄金现货日收益率的95%的置信区间和实际日收益率如表5所示。

从表5可知，2017年1月4日至4月10日黄金现货实际日收益率走势平稳，本文预测的95%置信区间变动幅度较小，以及图9中的条件标准差小幅度的递增趋势与实际均基本吻合。

参考文献

[1]潘贵豪，胡乃联，刘焕中，李国清.基于ARMA-GARCH模型的黄金价格实证分析[J].黄金，2010，31（1）：5-8.

[2]许立平，罗明志.基于ARIMA模型的黄金价格短期分析预测[J].财经科学，2011，2011（1）：26-34.

[3]罗祯.基于ARIMA-GARCH模型的黄金价格走势研究[J].中国外资，2013（6）：31-32.

[4]李莹，高岩，范丽亚，等.基于支持向量回归机的黄金价格短期预测[J].数学的实践与认识，2011.12，41（24）：1-6.

[5]高铁梅.计量经济分析方法与建模.北京：清华大学出版社，2006.

基金项目：混合与缺失数据统计分析广西高校重点实验室科学基金开放项目（GXMMSL201407）。

作者简介：徐庆娟（1979-），女，山东成武人，广西师范学院数学与统计科学学院副教授，博士，研究方向：最优化方法与统计计算；杨彬彬（1991-），女，广西玉林人，广西师范学院概率论与数理统计专业在读研究生，研究方向：统计建模与优化。