浅谈一元二次方程的应用

张晓燕

[摘 要]一元二次方程在初中教学内容中，站着举足轻重的地位，学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。因此，本文将从函数入手，着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用，以求对于一元二次方程有个深入的解析。

[关键词]一元二次方程；应用

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是初中教学的重点内容。

一、一元二次方程的概念

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.

二、一元二次方程的一般式

（其中a， b， c为常数，且a≠0），则称y为x的二次函数.顶点坐标为（，）.

经过适当变形，继而我们可以得到：

1.顶点式：（）.

2.交点式（x轴）：.

3.两根式：，其中x1， x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程的两个根.

注意：

（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式，抛物线的顶点坐标是，h=0时，抛物线的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线的顶点在x轴上；当h，k=0时，抛物线的顶点在原点.

（2）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次方程有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式， 二次函数可转化为两根式.

三、一元二次方程的解法

一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容，方程思想也是学习数学的一种重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程为基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次变为两个一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式为，特点是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再进行判断.一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我們将举例分析这四种方法的运用：

例1 用直接开方法解下面的一元二次方程.

直接两边开方，得：或.

由得x1=3，由得x2=，

∴原方程的解为：x1=3，x2=.

说明：用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解.

四、一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式，是初中数学的一个重点，中考必考知识点，它是解答数学问题的重要工具和方法，应用十分广泛，不仅用于方程的解和根的差别，而且作为一种解题方法，在代数、方程（组）、不等式、函数、几何等都有非常广泛的应用 .

1.判别抛物线与x轴的交点. 若Δ>0，则该抛物线与x轴有两个交点；若Δ=0，则该抛物线与x有一个交点；若Δ<0，则该抛物线与x轴无交点.

2.判别抛物线与直线的位置. 将两式组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程. 当Δ>0时，抛物线与直线相交；当Δ=0时，抛物线与直线相切；当Δ<0时，抛物线与直线相离.

只要我们潜心研究，还可发现一元二次方程判别式在更多领域的应用. 在教学中，教师只要对学生认真引导，培养学生自主学习、合作学习、探究学习的学习精神，学生就会掌握更多解决数学问题的方法，感受学习成果的愉悦，提高数学兴起，也为学生终身学习数学、研究数学打下良好基础.

一元二次方程作为最基本的初等函数，它既简单又具有丰富的内涵和外延。可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。同时，有关二次函数的内容，与近现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础。