导数在中学数学中的应用

金春?张婷毅

[摘 要]导数是研究函数基本性质、变化率以及优化问题上强有力的工具，围绕着导数知识的高考命题研究层出不穷。 由于受学生思维水平以及认知结构的限制， 导数的教学做了简化处理， 教学过程以理解为主， 淡化形式。 其次， 围绕着导数中学常做大量技巧性的解题训练，突出其应用。 缺乏对该知识拓展和延伸， 无法在更高的视野下重视所学内容。 本文将以导数为例， 探究导数在中学数学的应用， 将中学数学中已下移的导数知识进行深入， 对没有进入中学的知识进行下放。

[关键词]高等数学； 中学数学；导数

一、导数的定义

通过瞬时速度、瞬时变化率定义导数概念直观形象， 符合中学生的认知水平。 但在教学过程中， 存在以下问题。

1.学生对导数定义中的自变量趋于某一值没有充分理解， 對“无限逼近”是不是意味着值能取得到存在困惑， 有的学生认为一定在定义域范围内。

导数教学借鉴了国外课程设置， 课程的编排采取“无极限导数”的策略， 从注重形式化到借助直观物理模型引入导数概念， 强调以理解为主， 淡化形式， 突出概念的本质， 不再将导数概念过早地“形式化”， 也导致学生对极限思想、无穷小量的理解不够。 如果引入导数的形式化定义， 那么课程设置需要从讲述数列、数列极限、函数极限、函数连续性、到导数及其应用， 微积分知识的完整性得到了充分的体现， 但这种课程设置没有考虑学生的认知水平， 学生的理解能力有限， 抽象思维能力不够。 由此可见， 对极限定义进行适当的引入和介绍， 体会“无限逼近”的思想价值对导数概念教学设计的探索十分有必要。 同时要注意避免极限概念对导数本质的干扰， 为了适应新的概念， 个体必须对原有概念进行改造， 使其适应新的情景， 形成新的数学观。

为了透彻理解导数与导函数概念的极限思想， 有必要讲述时函数的极限。 设是定义在点的某个空心领域内的函数， 讨论当趋于时， 对应的函数值能否趋于某个定数， 尤其是在处是可以无定义的。

有必要对无穷小量概念进行讲解， 讲解比式的极限求导。

在数学概念的习得过程中，学生长期使用通过观察大量数学事例的方法进行归纳概括， 而不是在符号表征的基础上进行逻辑推理和证明， 也没有对所学知识进一步推广。 因此， 有必要在中学数学的教学过程中， 立足于高等数学的应用性为中学课程设计提供多种思路， 为中学解题提供多种解法和拓展。中学涉及了， 以及等的极限， 讲解无穷小量有一定的必要性， 避免机械记忆。

从平均变化率到瞬时变化率的过程过于粗糙， 学生没有体会到极限思想 。

学生对于瞬时速度的认识不深刻， 尽管能通过物理知识充分区别平均速度和瞬时速度， 但他们对于瞬时速度的表述是函数在某一点的导数， 而不是通过平均速度逼近得来的。 由于在学习导数之前， 没有学习过极限概念， 只是把导数当作特殊极限处理， 因此在教学过程中， 应该充分让学生认识到取极限的过程， 尤其是当趋于时， 平均变化率取极限的过程， 用切线逼近割线体会“无限逼近”的思想， 从静态处理过渡到动态认识导数概念。

2.导数的计算。

（1）反函数的导数。

中学关于导数的计算是在平均变化率的基础上， 用瞬时变化率逼近的， 通过导数的定义求出了一些简单函数的导数。 包括常值函数、指数函数与对数函数的求导。 对于与， 学生经常混淆。 在学习指数函数和对数函数后， 学生对反函数有了一定的了解， 对高等数学中反函数的导数定理可以做一定的简化处理。

定理1 设为的反函数， 若在点的某领域上连续， 严格单调且， 则在点可导， 且

对该定理做简化处理， 对于指数函数和对数函数的导数满足上述定理， 由此可将二者联系起来加深理解。

3.复合函数的导数。

复合函数的求导遵循从外到内的原则， 即链式法则， 在中学已有大量应用。

对于多个函数复合而得的复合函数， 只需反复应用上述法则即可。

例1 设， 求。

部分学生把函数误看作， 导致错解。

错解 令， 。

正解 根据复合函数求导法则和导数的四则运算法则，将看作两个函数的复合， 则

4.高阶导数。

中学数学目前没有涉及到高阶导数， 实际上， 高阶导数在泰勒展式以及求解函数的拐点等有广泛应用。 在中学数学中， 对于一般角的三角函数值只能通过查表或借助计算器得到， 可介绍高等数学中的高阶导数与泰勒展式进行近似计算。

二、单调性与极值

中学数学关于函数单调性的教学是在观察大量函数模型如一次函数、指数函数、对数函数的基础上， 归纳出导函数的符号与函数单调性之间的关系。 而高等数学中关于单调函数的定义是通过导函数的定义进行界定的， 其中涉及到函数极限的保不等式性与保号性。 事实上， 根据导数的定义来定义函数的单调性是顺其自然的思路。 只是学生会对过程中的保号性与保不等式性产生疑虑， 教师只需做出说明， 简单讲解原因即可， 提供函数单调性定义的另一种思路。 培养学生研究问题的严谨性， 改善以往研究问题只靠从大量实例中归纳总结的思维习惯。

中学接触的是极值的第一充分条件， 简言之， 导函数的正负对应着原函数的增减， 通过画表格的方式得到函数的极值。 事实上， 极值的第二充分条件在中学也有广泛应用。

高等数学知识可以为中学课程设计与解题提供多种思路，对公式定理加以延伸和拓展。 研究高等数学在中学数学的应用对弥补二者在知识和思想方法上的断层有一定的实际意义。 但是， 利用高等数学解决中学数学问题应该建立在其实际应用的基础上， 不能一味地扩大其作用， 以免增加学生负担， 适得其反。 在实际教学过程中， 关于高等数学在中学的可下移程度还需进一步实验探究。

参考文献：

[1]洪妍.高中导数概念的教与学研究[D].江苏：扬州大学，2009.

[2]秦德生.学生对导数的理解水平及其发展规律研究[D].吉林：东北师范大学，2007.

大学生创新创业训练计划项目 陈峥立副教授；