关于“圆化法”的探究

卢山

摘要：在与椭圆有关的问题中，我们常常苦与计算，巨大的工程量让我们在相关难题前望而生畏，止步不前。于是在此，我们将去探究“圆化法”，凭依着这种新式方法，我们或许就能绕开复杂的运算，自己命题的核心。

关键词：圆化法；运算；探究

下面，我们将先介绍这种方法。

一、“圆化法”的介绍

（1）“圆化法”即将椭圆投影到不同的平面上，使其形成一个圆。在此，我们将把原题目在椭圆上的复杂运算转化到圆上，运用圆的特殊性质来帮助我们解答题目。

转化过程，原方程

转换，建立新坐标系

使

（2）“圆化法”的性质

构造特殊斜率

即当在椭圆平面内两条直线斜率积为时，经“圆化”后两线相互垂直。

构造新直角

设在圆上 即建立新坐标系设

使

即投影出的在圆上，故圆上直径两端点与连线所成角为直角.

二、例题讲解

例1：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，是椭圆上异于的任意两点，且直线相较于，直线相交于点。

（1）求的值。（易解得）

（2）求证：直线的斜率为定值，证明：以下可分两种情况在轴异侧，即如图1

建立新坐标系，

即如图2

转化后：

如前证性质

即为的垂心

则

又∵，

在轴同侧类似，略。

分析：对于椭圆的某些类型题目，“圆化法”有奇效。如上例1，若照图1运用解析几何作法，运算量巨大。而运用“圆化法”将能把其转化为平面几何问题，省去运算步骤。

例2，面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以

总结：“圆化法”主要涉及椭圆中面积与斜率的求解。我们可以用上述性质、、圆的性质来进行思考。换一种角度往往会让我们领略到常规方法所少见的简易利索，以上问题即通过映射達成这一捷径。故不妨解题时换一种角度去解答，或可在高考大纲范围内悟得新法。

参考文献：

[1]任子文.简介“圆化法”[J]课程教育研究：学法教法研究，2015（26）