活跃在初中数学的五种数学思想方法

张成芬

摘要：數学的基本结构由数学的知识结构和思维系统两部分组成。组成数学知识结构的是概念，定理，公式，法则。组成思维系统的则是数学思想方法和思维策略。本文就常见的五种数学思想，在初中数学课程中的特点和作用等方面作一个探讨，以期望对数学思想方法的学习和教学，作一点积极作用。

关键词：初中数学 数学思想方法

一、数形结合思想

数形结合思想，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形问题之间的转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，其应用大致可以分为这两种情形。代数问题转化为几何问题时，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的数结构与形象的形结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简洁直观。

例1：已知a

用代数方法解决几何问题时，方法也是类似的。正如华罗庚教授所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，"数"与"形"存在互补关系。在应用数形结合思想时，要把握一些原则，一是等价原则，要保证是等价转化。二是要直观简洁，如果不直观简洁，也就没有必要使用数形结合了。

二、转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究出解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化。主要包含四个方面：（1）化未知为已知。（2）化难为易。（3）化繁为简。（4）化大为小。使用转化与化归思想，常见有十种方法：（1）直接转化法：把原问题转化为基本定理，公式或图形问题。（2）换元法。（3）数形结合法。（4）等价转化法。（6）构造法：构造一个合适的数学模型，让问题变得容易。（7）坐标化：以坐标计算为工具，用计算来解决几何问题。（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求。（9）参数法：引进参数，用计算解决问题。（10）正难则反证法。

例2设二次函数 的图像与x轴交于两点A，B（A在B左），与y轴交于正半轴点C，如果三角形ABC是锐角三角形，求k的取值范围，判断∠A， ∠B大小。

两点A，B的横坐标是对应方程的两根 ，而OC=-（k+4）， ，只要确保OA*OB< 成立，从而∠C为锐角。这样，求k的取值范围的问题就转化为解不等式组问题。

使用转化与化归思想解决数学问题一般应遵循两个原则，一是熟悉化原则。例如学习梯形的中位线的性质，我们把梯形的中位线化归为三角形的中位线来研究。这是我们熟悉的内容。二是简单化原则。当然这也是所有问题解决的终极目标。在平时加强针对性的训练与思维归纳总结是必不可少的。

三、分类与整合思想

分类讨论，就是对问题所给的对象不能进行统一研究时，要根据对象的性质差异，按某个标准分成各种情形，即分类，然后对每一类进行处理，最后综合各类结果得到整个问题的解答。它的实质上是“化整为零，各个击破”的解题策略。事实上，分类是我们学习初中数学遇到的第一个方法。早在初一学习有理数时，我们就把有理数分成3类.：正有理数，负有理数和零。学习有理数加法时，我们又根据两个加数的特点分成同号，异号但绝对值不想等，互为相反数，有一个加数为零这4类，最后得到完整法制。

例3，当 -2≤x ≤1 时，二次函数 有 最大值4，求实数m的值.

在给定自变量范围内，二次函数的最值与对称轴的位置有关。对称轴在自变量范围内，与对称轴不在自变量范围内，最值取法不一致，所以应分3类情况讨论求解.

哪些问题适合于分类的思想方法求解呢？一般来说涉及到由分类定义的概念，如绝对值，二次方程，三角形，四边形等等，用于分类研究的定理，性质，公式，法则，如分式运算，判别式等等，进行的某些有限制的运算，如除法，开偶次方等等，计算或推理过程中遇到的数量大小或图形位置，形状不确定，均应考虑用分类的思想方法。

分类讨论的原则一般应遵循两个基本原则，一是互斥性原则，分类后每类之间不重复不包含。二是无遗漏性原则，各种情形均应一一考虑，没有遗漏。

四、函数与方程思想

伟大的数学家笛卡尔，他在《指导思维的法则》一书中提出了一种解决一切问题的“万能方法”其模式是先转化数学问题，在转化为代数问题，最后转化为方程问题。说明方程的思想方法类似，函数的思想方法就是按RMI原理，把一个数学问题转化为一个函数的问题，并利用函数的性质研究问题。函数思想的最大特点是从变化，动态的观点来认识数学对象和它们的性质之间的关系，这样能够全面，深入也地认识事物的本质，可适用与数学的各个分支。

例4、某种品牌的内衣进价每件40元，若定价50元，则可销售500件，获利5000元，销售量会减少10件，如果希望销售这批内衣的利润达到8000元，应如何定价？如果要获取最大利润，应如何定价？

求未知量的问题，首先想到根据等量关系建立方程得（10+x）（500-10x）=8000，可得定价x的值。如果用y替换固定利润8000，或把x看成变量，则得到一个二次函数的模型，用于解决最值问题。

在函数思想方法中，我们常用的性质包含（1）点在函数图像上，则坐标满足函数表达式（2）函数值的大小关系及极值（3）函数的增减性和图像的对称性、周期性等。

函数与方程思想是贯穿中学数学的一条线，它是中学数学中永恒的热点，在运用这种思想时，我们应当注意以下两点：一是抓主元，即抓主要矛盾，确定变量，二是多从变化观念看待问题，建立函数模型，从而用函数性质解决问题。

总之，在初中数学教学中应渗透数形结合思想方法，培养学生数学思维能力，使其养成良好的数学思维习惯.数形结合思想贯穿初中数学教学的始终，“以形助数”“以数辅形”，有利于发展学生思维能力，培养学生的数形结合意识，从而提高学生分析问题、解决问题的能力

参考文献：

[1]闫志霞.初中数学教学中学生创新思维能力的培养[J].中国科教创新导刊，2009，（30）：17-17.

[2]曾铁梅.《初中数学数形结合思想的探讨》，科学咨询，2015年15期

[3]甘寿权.浅谈初中数学教学中学生综合能力的培养[J].读与写（教育教学刊），2013，（10）：82-82.