关于换元法的分析和探究

张力丹+++杨盼盼

摘要：在求解某些数学问题的时，有时需要引入换元法。本文首先对换元法进行了简要的介绍，引入了常值换元法，局部换元法，和积换元法，三角换元法，均值换元法，比值换元法，放缩换元法，积分换元法。根据各换元法的思想，对各换元法进行了分析。分析结果表明，通过换元法可以将某些复杂的数学问题化繁为简，化难为易，从而达到方便解题的目的。

关键词：局部换元法；三角换元法；放缩换元法；换元积分法；均值换元法

1 引言

由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑关系不易从表面形式上被发现，故需要从一种形态转换到另一种形态。因此就出现了换元，并产生了换元法。换元法的基本思想是通过变量代换，可以化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，达到化繁为简，化难为易的目的，从而达到解题方便的目的。目前所知道的常用的换元法有常值换元法，局部换元法，和积换元法，三角换元法，均值换元法，比值换元法，放缩换元法，以及数学积分应用中的第一换元积分法和第二换元积分法[1]。换元法在定积分，不定积分，方程，不等式，函数，数列，三角函数等数学问题中有着广泛的应用。当遇到代数中式子较繁琐，解法比较复杂时，换元法就发挥了其功能，达到化难为易，化深为浅，化繁为简的目的。这是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。

2 常值换元法

常值换元法就是将数学题中的比较大或比较复杂的数字用简洁的字母代替来解题，是最简单的一种换元方法。当原数学问题中存在比较繁琐的常值时，可以考虑使用常值换元法。利用常值换元法，可以将原数学问题中的常值数字更加突出，原表达式中常值与常值之间的规律更加明显。

3 局部换元法

局部换元是一种换元方法，因此它的实质还是换元的思想。它和常值换元法类似，但是还存在一定的区别。它是一种最常用的换元方法，也称整体换元法。在某些数学题中对于某个复杂的或多次出现的代数式当成一个整体，用一个变量来代替，这就体现了局部换元的思想，从而简化问题，达到解题的要求。对于某些数学问题，当问题中存在某个复杂的代数式或多次出现某个代数式时，可以考虑局部换元法。利用局部换元法将不易直接求解的表达式转换成易于求解的表达式。

4 和积换元法

当出现x+y，xy这种表达式的时候，可以将此种表达式作为解题的辅助元，这种解题方法是换元法中的和积换元法。当某些原数学问题中的表达式通过化简变形之后，如果能够转换成x+y和xy的这种辅助元，就需要考虑用和积换元法。

5 三角换元法

三角换元法主要是利用一些常用的三角函数来实现换元，也是应用比较广泛的一种换元方法[2]。当解答某些数学问题时，当需要三角函数代替某些复杂的表达式时，就需要考虑用三角换元法，利用三角换元法需要注意是原表达式的定义域必须满足三角函数的定义域。

6 均值换元法

当表达式中出现类似X+Y=2K条件时，我们就可以把X，Y分别设为X=K+T，Y=K-T（K，T均为实数）来解题，这种换元法称为均值换元法，当遇到两个元素的和为定值时，就需要用均值换元法。当遇到两个元素的和为定值的问题时，就需要考虑用均值换元法。

7比值换元法

当题中含有比例或经过变换可以得出有连比的式子时，就可以设该式为辅助元，此换元法称为比值换元法，当出现比例相等的式子时，就需要考虑用比值换元法。

8放縮换元法

放缩法是对题目中的表达式进行适度的放大和缩小[3]。放缩换元法，主要应用于不等式和数列求和，需要注意的一点是在放缩的过程中把握度。

9积分换元法

积分换元法分为两类，第一类换元积分法和第二类换元积分法[4] 。第一类换元积分法是不定积分的基础且具有很大的灵活性，为了能应用第一类换元积分法来解题，就需要灵活的运用所学的微分公式。第二类换元积分法主要用于求被积函数含有根号的不定积分，去掉根号是换元的主要思路[5]。在第二类换元积分法中有三角代换，根式代换和倒数代换来达到去根号的目的[6]。

10结束语

通过对上面各种换元积分法的分析和探究可以看出，换元法起着极其重要的作用，通过换元法可以清楚的认识到某些数学问题的本质，使得在求解这些数学问题时，可以化繁为简，化难为易，减少计算量，提高解题速度。学会运用各种换元法，不仅可以了解决到数学的诸多分支的难题，还可以拓展学生的思维，激发学生的学习兴趣。对于某些直接不易求解的数学问题时，需要仔细观察问题结构特点，抓住问题存在的规律，深入剖析问题的隐含条件，适当的换元，找到最佳的解题路径，并结合所学的知识综合运用给予解答。当然，在写此论文的过程中发现本文研究的只是常用的换元法解题的技巧，缺少对换元法解题理论的深入研究，因此在换元理论方面还需要完善。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]（第三版 上册）.北京：高等教育出版社，2013：182-186

[2]胡秀萍.浅谈三角代换在解题中的应用[J].中学数学教学，2014（02）：36-37

[3]陈慰敏.巧用换元法证明等式或不等式[J].中学数学教学，2012（03）：26-27

[4]周华春.换元法在解方程（组）中的应用[J].成都教育学院学报，2014（07）：65-66

[5]冉莉莉.换元法在数学教学中的应用[J].机械职业教育，2012（08）：25-30

[6]刘大鸣，李鹏云.例说换元法的简化功能[J].数学教学通讯，2015（12）：89-90