独立学院伯努利试验的教学探析

欧阳通

【摘 要】伯努利试验是概率论的一个重点内容，很多学生不理解其所对应的二项概率公式的内涵，只能够依葫芦画瓢。本文从独立学院的教学实践出发，引导学生理解公式，运用公式解决实际问题。

【关键词】伯努利试验；二项概率公式；应用

伯努利试验是概率论中一个重要的内容， 它是有关事件独立性的一个固化了的数学模型，有着广泛的实际应用，对生产生活有一定的指导意义。因此，有必要进行深入浅出的探讨。本文结合教学实践，选取贴近生活的事例，对伯努利试验及其概率计算公式的引入和应用进行探究。

一、创设情境，引入概念

给出与实际相关的例子比直接告诉模型和公式更容易激发学生的学习兴趣，由易及难，由特殊推广到一般，在解题的过程中找到一般规律。

引例：某人射击，长期来看他的命中率为0.7，比赛时重复射击3次，求恰好命中2次的概率。

先进行情境分析：

1.每次射击之间没有影响，即相互独立；

2.射击结果只有两个：命中、未命中；

3.每次射击命中的概率为0.7。

引例讲解：

先记所求事件={恰有2次射击命中}，哪2次射击命中并不确定，不妨记A ={第i次射击命中}，i=1，2，3。故事件B=A A ∪A A ∪ A A ，且这三个事件是互斥的。每次射击相互独立，所以P（A ）=0.7，P（A ）=0.3。由概率的可列可加性和事件独立性的性质有：

P（B ）=P（A A ）+P（A A ）+P（ A A ）

=P（A ）P（A ）P（ ）+P（A ）P（ ）P（A ）+P（ ）P（A ）P（A ）

=0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7

=3×0.7 ×0.3

从解题过程中我们可以看到，事件的三种情况的概率是相等的，故可以从组合的角度去理解：从三次射击中选取两次射击是命中的，故有种情况；每种情况的概率相等，均为0.7 ×0.3，表示两次命中，一次没有命中。从而，（1）式可以表示成C ×0.7 ×0.3。

进一步拓展：如重复射击n次，命中率为p，恰好命中k次的概率如何求解？

由引例，即可以推广为：C p （1-p） 。

进一步引导：

（1）引例中射击试验具有几个特征？

答：a.每次射击之间没有影响，即相互独立；

b.射击结果只有两个：命中、未命中；每次射击命中的概率不变

（2）可不可以把射击试验改为其它具有此类特征的试验？

答：当然可以，只是换了个名字而已，本质未变。例如：抛硬币试验：每次抛硬币相互独立，抛硬币的结果只有正面和反面两种结果。

经过层层引导之后，将满足上述两个特征的这类试验抽象出来，得到一个试验模型——n重伯努利试验；以及引导出其对应的二项概率公式。

二、伯努利试验及二项概率公式

定义：设随机试验满足：

◆试验条件相同，重复独立试验n次；

◆每次试验只有两个可能的结果：A，A，P（A）=p，0

定理：在伯努利概型中，若一次试验事件A发生的概率为p（0

三、模型的应用

例：有一批棉花种子，其出苗率为0.8，现每穴种4粒种子，求恰有2粒出苗的概率。

分析：把种一粒种子当成一次试验，每粒种子出苗与否是相互独立的；每次试验的结果只有两种：出苗、未出苗，所以该试验为4重伯努利试验。

故：n=4，p=0.8，q=1-p=0.2

p （2）=C p q =C 0.8 x0.2

=0.1536

四、总结

伯努利试验的两个条件是缺一不可的，在利用其概率计算公式时，首先要判断试验是否属于伯努利试验，如果是才能使用二项概率公式，否则出错！

【参考文献】

[1]柴根象，蔣凤瑛，杨筱菡.概率统计简明教程[M].北京：高等教育出版社，2012