导数在经济学中的应用

刘君泽

【摘 要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。

【关键词】导数；经济学；边际分析

1.导数的概念

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。

2.导数概念的经济学解释

f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。

假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。

3.分析

边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成

本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。

4.导数在最值问题上的应用

4.1最小平均成本问题

例：已知某个企业的成本函数C=q -9q +30q+25，其

中C-成本（单位：千元），q-产量（单位：吨）。求该企业生产多少吨产品时所需费用最少（即平均可变成本最小）？

解： 平均可变成本Y= =q -9q+30，解得Y′=2q-9。令Y'=0，得q=4.5吨。此时Y">0，所以q=4.5时，Y取得极小值，由于是唯一的极值，因此就是最小值，即Y =4.5 -9×4.5+30=9.75。因此，该企业产量为4.5吨时，所需费用最少，即平均可变成本取得最小值9750元。

4.2最大利润问题

企业生产的主要目的之一就是获取利润，而利润函数L（x）=R（x）-c（x）被称企业日标函数。（R（x）为总收入函数、c（x）为总成本函数）。为了求出使利润最大的产出水平，首先，必须满足最大值的必要条件：一阶导数L′（x）=0，求L′（x）=0，即R′（x）=c′（x）其次，还必须满足最大值的充分条件：当L′（x）=0时，L"（x）<0，即R"（x）

4.3最佳批量问题

在销售管理中，有一个“最佳批量”的决策问题。一般而言，生产厂家或销售公司要维持正常的生产和销售，必须储备一定的产品和商品，但库存量一定要适度，库存太多，会造成资金积压或货物过期；库存太少，又会出现供不应求，失去时机。因此管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等。对于这个问题也可用导数加以解决。

假定企业全年存货需求量为D，经济订购费用为Q，每次采购费用为P，每单位存货维持一年的费用为k。由此可得采购次数为D/Q，平均存货量为Q/2，一年所需的總费用为：F（Q）= ·p+ ·k=0，我们按求量值的条件：（1）F′（Q）= ·p+ ·k=0，于是Q= ，（2）当F"（Q）>0时费用最小，即F"（A）= ·p>0，而F"（Q ）>0，则最佳经济定购量为Q = 。

结语

导数在经济学中的应用颇为广泛，本文只是略举一二，如果能够将数学作为分析工具应用到经济问题中去，不但可以提供准确的数字作为参考，同时也能给企业提供更多的思路和见解，这也是数学作为一门基础学科的实际应用的具体体现。