非负数的性质与应用

谢妮娜

摘 要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。

关键词：非负数；代数式；方程

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.27.063

对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。

一、常见的非负数

初中数学重点学习的非负数主要有三种：

1.任何实数的绝对值：a？叟0；

2.任何实数的平方：a2？叟0；

3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。

二、非负数常用的性质

1.有限个非负数之和是非负数；

2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的

“0+0=0”。

三、非负数的应用

在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。

1.利用非负数解决代数式的问题

（1）化简

例1、设2x-4<0，化简+。

解：∵2x-4<0 ∴x<2

∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x

（2）求最值

例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值

解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11

∵（x+2）？叟0

∴-2（x+2）？燮0

∴ y？燮11

故y的最大值是11。

（3）求代数式的值

在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。

例3、若y=++2，求xy的值。

解：根据二次根式的被开方数的非负性，可知：

x-3？叟0且x-3？叟0

即 x？叟3且x？燮3

∴ x=3，y=2

∴ xy=9

2.利用非负数解决方程的问题

如果只有一个方程，却含有两个或两个以上的未知数，可以利用非负数的有关性质把原方程划分成几个方程，分别求出未知数的值。

例4、已知（a-3b）2+=0，求a和b的值。

解：根据平方和二次根式的非负性可知：

（a-3b）2？叟0，？叟0，

∵ （a-3b）2+=0

∴ （a-3b）2=0且 =0

∴ a-3b=0且 3a-b-4=0

∴ a=， b=

∴ a+b=2

例5、求证：不论m为何值，方程（m2+1）x2-2（m-1）x-1=0一定有两个不相等的实数根。

解：∵ ？驻=[-2（m-1）]2-4（m2+1）·（-1）

=8m2-8m+8

=8（m-）2+6

根据平方的非负性，可知：∵8（m-）2？叟0

∴8（m-）2+6？叟0，即？驻？叟0

∴方程一定有两个不相等的实数根。

例6、是否存在实数与，使最简二次根式与 是同类二次根式，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

解：根据“同类二次根式”的定义，可以得到：a2-2b+2=2a-b2

化简得：a2-2a+b2-2b+2=0

变形为：a2-2a+1+b2-2b+1=0

（a-1）2+（b-1）2=0

根据平方的非负性，可知：（a-1）2？叟0且（b-1）2？叟0

得到 a=1，b=1

∴ a2+b2=1

例7、在實数范围内解方程：+-=（a+b+c）

分析：由一个方程求三个未知数是比较困难的，采用常规方法无法解决。但是如果通过去分母，会发现方程左边的项与完全平方公式有联系。即可以联想到借助完全平方公式将方程化为几个平方的和，再利用平方的非负性解决。

解：将原方程的两端同时乘以2，得：

2+2-2=a+b+c

移项、配方，得：a-2-2+1+b-2+1+c-1-2+1=0

即：（-1）2+（-1）2+（-1）2=0

利用平方的非负性，得到：

-1=0且-1=0且-1=0

∴ a=1，b=1，c=2

3.利用非负数解决几何问题

例8、四边形四条边的长为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd。试判断四边形的形状。

分析：通过确定四边形的边角关系，进而确定四边形的形状。

解：由条件有：（a4-2a2b2+b4）+（c4-2c2d2+d4）+（2a2b2-4abcd+2c2d2）=0

变形为：（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0

由：（a2-b2）2？叟0且（c2-d2）2？叟0且2（ab-cd）2？叟0

得到：a=b=c=d

故四边形是菱形

4.利用非负数解决其他问题

例9、若实数x、y、z满足x+y+z=0，xyz=1，试判断++的符号。

分析：要判断++的符号必须先把它变形到可以显示符号为止。可以采用通分对式子进行变形，化简。最后只需求出xy+xz+yz的符号。

由条件x+y+z=0提示我们可以将xy+xz+yz与x2+y2+z2联系起来，由此得到解题思路。

解：∵ ++=

又∵ xyz=1

∴ ++=xy+xz+yz，它的符号由xy+xz+yz决定

∵ x+y+z=0

∴ （x+y+z）2=0

即x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=0

∴ xy+xz+yz=-（x2+y2+z2）

根据x2？叟0，y2？叟0，z2？叟0，可得：xy+xz+yz<0

∴ ++的符号为负

通过以上例题可以发现，非负数的应用范围广泛。有些题目条件中的非负数非常明显，而有些题目中的较为隐蔽，这需要我们能够善于挖掘这些隐蔽的条件，应用非负数的概念及性质来解题，然后加以分解，整理，灵活应用，就能达到化难为简的奇妙效果。

参考文献：

[1] 孙厚康.初中数学思想方法导引[D].杭州：浙江大学出版社，2015.

[2] 张秀萍.非负数在解题中的应用[J].太原大学教育学院学报，2000（4）：71-73.

[3] 覃胜平.非负数的性质及其应用[J].中学生理科月刊，1995.

[4] 段和平.非负数性质的应用及相关题型书写格式的规范[J].忻州师范学院学报，2009（2）：134.endprint