圆锥曲线上某一点处的切线方程

赵广华　尼志福

【摘要】在做解析几何大题时，需求曲线上某一点处的切线方程，那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下.

【关键词】切线方程

在做解析几何大题时，我们经常需要求曲线上一点处的切线方程.最常用的方法就是设出方程，然后联立直线方程与曲线方程，再利用Δ=0求解.这种做法思路简单，但运算量大，尤其当曲线方程含有参数时，运算量更大，更不易做对.那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下.

问题1求过圆x2+y2=r2（r>0）上一点P（x0，y0）的切线方程.

解设M（x，y）是切线上任意一点，则OP·PM=0，

即（x0，y0）·（x-x0，y-y0）=0，

整理得x0x+y0y=x20+y20=1，

所以切线方程为x0x+y0y=1.

问题2求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上一点P（x0，y0）的切线方程.

用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想.

结论1椭圆x2a2+y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

结论2双曲线x2a2-y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.

结论3抛物线y2=2px上一点P（x0，y0）处的切线方程为y0y=px+px0.

上述类比推理得到的结论是否正确？我们用大学的知识来证明一下.

证明椭圆x2a2+y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

∵x2a2+y2b2=1，

∴等式两边同时对x求导得2xa2+2yy′b2=0，

∴y′=-b2a2·xy，

∴切线斜率k=y′|x=x0=-b2a2·x0y0，

切线方程为y-y0=-b2a2·x0y0（x-x0），

整理得x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1.结论得证.

用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性.

下面我们用上述结论小试牛刀.看2013年山东高考数学压轴题：

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程.

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求这个定值.

解（1）椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）m的取值范围-32，32.

我们重点看一下第三问.

设P（x0，y0），因为x24+y2=1，所以等式两边同时对x求导得2x4+2yy′=0，整理得y′=-x4y.

因此，直线l斜率k=y′|x=x0=-x04y0，

k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，

所以1kk1+1kk2=1k1k1+1k2

=-4y0x0x0+3y0+x0-3y0=-8，

即1kk1+1kk2為定值-8.

可见掌握上述结论对同学们在做圆锥曲线大题时有很大帮助，我们在学习过程中要不断总结，不断探究.