浅谈求函数最值的方法

张新秀

最值问题是历年高考重点考查的常见题型.由于其综合性强，能力要求高，解决这类问题，要灵活选择恰当的解题方法.求最值的方法有很多种，教学中我感受到不必追求新颖别致、灵活奇巧，应该集中精力练好几种常用方法，努力打好基本功，到时自然能够得心应手.

一、反解法

当已知自变量或者某个因式整体的范围时，反解法能够快速准确地求出函数值域.

例1求函数f（x）=x2-1x2+1的值域.

解由y=x2-1x2+1反解求得x2=1+y1-y，借助x2≥0可得-1≤y<1.实践证明，许多师生喜欢用f（x）=x2-1x2+1=1-2x2+1来求值域，相比而言反解法路数少，不易出错，效率明显更高.

二、换元法

把某一部分看作一个整体或用一个新元来代替，能够达到“看起来熟悉、用起来顺手、写起来简洁”的目的.

例2求函数y=x+1-2x的值域.

解令t=1-2x，则t≥0且x=12（1-t2）.原函数变为y=12（1-t2）+t=-12（t-1）2+1.由于t∈[0，+∞），故y∈（-∞，1].

运用换元法时应特别注意所引进的新元的取值范围，这是一个易错点.

三、函数单调性法

求函数值域，应该让学生养成先观察函数在定义域上的单调性的习惯，这往往能够快速找到解决问题的切入口.

例3求函数y=3x+6k-8-x的值域.

解因为函数y=3x+6-8-x在定义域[-2，8]上为增函数，当x=-2时，y取得最小值-10.当x=8时，y取得最大值30.

故而原函数的值域为[-10，30].

若函数在整个区间上不是单调的，则先研究函数单调性，把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的.

四、基本不等式法

基本不等式在求范围或值域问题中往往显得非常活跃，当其形状结构不太明显时，常常借用换元法、配凑法等手段以达到凑形的目的.

例4求y=x2+7x+10x+1（x≠-1）的值域.

解∵y=x2+7x+10x+1=（x+1）2+5（x+1）+4x+1

=（x+1）+4x+1+5.

以下分当x+1>0和x+1<0两种情况讨论.

运用基本不等式求最值，应注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.当不能确定主变量为正数时应该分情况讨论.

五、判别式法

对于二次分式函数的值域问题，可以用方程的思想先将函数化为f（x，y）=0的形式，再利用一元二次方程有根的条件求解.

例5求函数y=x+1x2+2x+2的值域.

解将原函数式化为yx2+（2y-1）x+2y-1=0，

当y≠0时，由判别式Δ=（2y-1）2-4y（2y-1）≥0，解得-12≤y≤12且y≠0，显然y=0时得x=-1满足，综上可得原函数的值域为-12，12.

判别式法求值域往往局限于二次函数，而且一定要关注二次项系数为0的情形.

求函数最值的方法还有很多，比如，导数法在求最值方面比其他方法的適用范围都要广泛.尤其是超越函数或者混合函数中导数的优越性无可替代.这里不再赘述.

数学（包括几何）有分量的问题最后往往都和函数的最值有关，教学中我们要重视求最值的方法的训练和提炼，但无须刻意追求灵巧新奇，以常见的基本方法为主，相信熟能生巧，基本功扎实了，自然能够得心应手.