关于函数的“类”对称问题
2017-08-09郭鹏
郭鹏
我们知道函数是数学的重要内容之一，其理论涉及数学的各个分支.特别是中学阶段，函数始终是一条主线.有许多函数具有对称性，体现了数学的对称美，有许多函数不具有对称性，但具有“类”对称性，体现了数学的奇异美.对于“类”对称性问题，我们可以类似对称的方法处理.
一、函数的对称性
函数的对称性分为两种：一是关于一条直线对称即轴对称.若函数y=f（x）满足f（x）=f（2a-x），则称函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称.二是关于一点对称即中心对称.若函数y=f（x）满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图像关于点（a，b）对称.
二、函数的“类”对称
1.函数的“类”对称也分两种：一是关于一条直线成“类”对称.连续函数y=f（x）在直线x=a的左側单调递增（或单调递减），在直线x=a的右侧单调递减（或单调递增），但函数y=f（x）的图像不关于直线x=a对称，我们称函数y=f（x）的图像关于直线x=a成“类”对称.
2.二是关于一点成“类”对称.连续函数y=f（x）在点（a，b）的两侧单调性相同，但y=f（x）的图像不关于点（a，b）对称，我们称函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成“类”对称.
三、函数“类”对称的理解
1.从“形”的角度理解“类”对称
若函数y=f（x）的图像关于直线x=a成“类”对称，则因为y=f（x）的图像不是真正关于直线x=a对称，所以对于函数y=f（x）图像上的两点（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））高低一般不同.
若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成“类”对称，则因为函数y=f（x）的图像不是真正关于点（a，b）对称，所以对于函数y=f（x）图像上两点（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））到直线y=b的距离一般不等.
2.从“量”的角度理解“类”对称
若函数y=f（x）的图像关于直线x=a成“类”对称，则对于函数y=f（x）图像上两点（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）-f（2a-x）≠0.
若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成“类”对称，则对于函数y=f（x）的图像上两点（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）+f（2a-x）≠2b.
四、函数“类”对称的应用
若函数y=f（x）的图像关于直线x=a成“类”对称，则可以比较函数值f（x）与f（2a-x）的大小；反之，f（x1）=f（x2），则可以比较x1+x2与2a的大小.
若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成“类”对称，则可以比较f（x）与2b-f（2a-x）的大小；反之，若f（x1）+f（x2）=2b，则可以比较x1+x2与2a的大小.
五、函数“类”对称的处理方法
对于第一类问题的处理方法：
1.构造对称函数.
先讨论函数y=f（x）的单调性，再比较f（2a-x）与f（x）的大小.通常的方法是构造函数F（x）=f（2a-x）-f（x），利用求函数值域的各种方法，转化为求函数的值域问题，从而得到f（x）与f（2a-x）的大小.
2.利用可导函数的极值点的定义求解.
对于可导函数y=f（x），在区间（m，n）上只有一个极大（小）值点a，若f（x1）=f（x2），且m
若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）成“类”中心对称，处理的方法一般采用构造对称函数法.
六、函数“类”对称题目的编制
例（2014年北京卷18题改编）已知函数f（x）=lnxx.
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程.
（2）讨论函数g（x）=lnxx-m（m∈R）的零点个数.
（3）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求证：x1+x2>2e.
探究（1）（2）略.（3）由f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，设0 ∴h′（x）<0，∴h（x）在（0，e）上单调递减，∴h（x）>h（e）=0，即F（x）>0. ∴f（2e-x）>f（x）.不妨设0 七、一点感悟 对于一个数学问题，作为数学教师，不仅要引导学生如何解，而且要教会学生如何反思总结：为什么要这样解？这个问题的实质是什么？背景是什么？其解法能否拓展？让学生领悟如何分析问题、解决问题.让学生学会思考.培养学生的探究意识、创新意识及主体意识.“学而不思则罔，思而不学则殆”.学中思，思中学是有效的学习方法和途径.
