高考函数与导数综合题的探究与教学构想

逄玲玲

【摘要】函数与导数综合题的考查要求紧紧扣住数学知识与数学学习的本质，对函数与导数的教学应回归本源，注重对基本初等函数的基本性质的研究，即对函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的极值、函数的零点的研究，包括对基本技能、基本思想方法、基本活动经验的研究，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力.通过对函数与导数综合题解法进行分析研究，可以看出，题目的命制都有其高等数学的背景，更有教材的痕迹在里面.所以，教师要充分发挥自己的主观能动性，全过程地、详细地、全方位地展示函数与导数问题求解的过程，不可以去头去尾，烧中段.要回归基础，回归教材.

【关键词】函数与导数；命题背景；命题建构；命题解法

下面我以2014年全国课标卷Ⅰ理科21题函数导数试题为例，通过分析试题的解析过程.研究导数试题的命题背景、命题建构和命题解法.

设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）>1.

点评本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数研究函数的单调性求函数的极值、最值以及证明函数不等式.本题目设置两问，第一问是基础题考查导数的几何意义，多数学生可以求出f（1）=2，f′（1）=e从而求出a=1，b=2.第二问看起来似乎不难，实际操作出来比较困难.其实本问是考查用导数研究函数不等式，背景丰富，有难度和区分度，研究的空间很大，下面我们探讨第二问.

解析（Ⅱ）由（Ⅰ）问知a=1，b=2，f（x）=exlnx+2ex-1x，从而要证明不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等价于证明不等式lnx+2ex>1ex（x>0）.

方法一令g（x）=lnx+2ex-1ex，（x>0），下面证明g（x）>0，求导得g′（x）=ex（ex-2）+ex2ex2ex，令h（x）=ex（ex-2）+ex2（x>0），则

h′（x）=ex（ex+e-2）+2ex>0，故h（x）在（0，+∞）上递增.

又h32e=94e-12e32e<0，∴h（1）=e2-e>0，根据函数零点定理知，h（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0=32e，1，即h（x0）=0，即ex0（ex0-2）+ex20=0，

当0

当x≥x0时，g′（x）≥0，故g（x）在[x0，+∞）上递增，

所以（g（x））min=g（x0）=lnx0+2ex0-1ex0=lnx0+2ex0+ex0-2ex20

=lnx0+1x0+2ex0-2ex20.

令φ（x）=lnx+1x+2ex-2ex2，x∈32e，1，下面证明φ（x）>0，

φ′（x）=ex2-（e+2）x+4ex3>0，x∈32e，1，故φ（x）在32e，1上递增，∴φ（x）>φ32e，∴ln32+13-2e9>0，故得证.

评析方法一是处理函数与导数的常见方法，即将所证明不等式证明问题转化为另一个函数不等式成立问题，利用函数的单调性和函数的零点定理（必修1）得到构造的新函数在定义域上的最大值小于或等于零，或最小值大于等于零，即得原函数不等式恒成立.这里有时构造一个函数可能得不到所需要的不等式成立，还需构造两个或三个函数方可得到结论，有时可能对原函数求二次或三次导数，判断所构造的函数的单调性和极值、最值的符号、函数的零点，才能得到要證明的不等式.

方法二利用不等式的基本性质先进一步适当放缩后再构造函数不等式.

不等式exlnx+2ex-1x>1，（x>0）等价于elnx+2x>1ex-1（x>0），我们利用教材选修2-2第32页复习参考题B组第1题和第（3）和（4）题的结论：即对x∈R，ex≥x+1和对x∈R+，lnx

因为不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等价于elnx+2x>1ex-1（x>0）.又因为ex≥x+1，∴ex-1≥x，当x>0时，1ex-1≤1x，故只需要证明：elnx+2x>1x（x>0），

令g（x）=exlnx+1，（x>0），∴g′（x）=e（1+lnx），令g′（x）>0得x=1e，

当00，∴g′（x）>0.

∴函数g（x）=exlnx+1，（x>0）的减区间为0，1e，增区间为1e，+∞.

∴（g（x））min=g1e=0，∴x>0，elnx+1x≥0（当且仅当x=1e时，不等式取等号）.

而对x>0，ex-1≥x（当且仅当x=1时，不等式取等号），又1e≠1，当x>0时，

elnx+1x>0，即elnx+2x>1x，∴elnx+2x>1x≥1ex-1，∴exlnx+2ex-1x>1成立

点评方法二根据教材习题上的恒成立的函数不等式ex≥x+1，利用证明不等式的基本方法——放缩法，先将原不等式进行等价转换，再进行放缩，可以看出要证明原函数不等式，只要证明不等式elnx+1x>0（x>0），这里我们要注意放缩时要整体放缩、局部放缩相结合，不可放“过”，即放“大”了或放“小”，而得不到不等式的证明.

分析问题的能力是学习数学的一个最核心的能力，表面上看好像很具体，其实很抽象，伴随学生完成他们的学习全过程.所以教师要充分发挥自己的主观能动性，全过程详细、全方位地展示函数与导数问题求解的过程，不可以去头去尾，烧中段.要回归基础，回归教材，避免让学生和自己跳入“题海”.要精讲精练，经历数学的基本过程，让学生体会数学是灵动的，问题是鲜活的，体会学习的过程是求学问的过程，非复制、粘贴、拷贝的过程，非刷题的过程，是一个追求数学文化，提高自身数学素质的过程.